Wat is een reëel nummer?

Wat is een nummer? Nou dat hangt er vanaf. Er zijn verschillende soorten nummers, elk met hun eigen specifieke eigenschappen. Een soort getal, waarop statistieken, waarschijnlijkheid en veel wiskunde zijn gebaseerd, wordt een reëel getal genoemd.

Om te leren wat een reëel getal is, zullen we eerst een korte rondleiding langs andere soorten nummers maken.

Soorten nummers

We leren eerst over getallen om te tellen. We begonnen met het matchen van de nummers 1, 2 en 3 met onze vingers. Toen gingen we zo hoog als we konden, wat waarschijnlijk niet zo hoog was. Deze telgetallen of natuurlijke getallen waren de enige getallen die we wisten.

Later, toen we met aftrekken te maken hadden, werden negatieve gehele getallen geïntroduceerd. De verzameling positieve en negatieve gehele getallen wordt de verzameling gehele getallen genoemd. Kort daarna werden rationale getallen, ook wel breuken genoemd, overwogen. Omdat elk geheel getal kan worden geschreven als een breuk met 1 in de noemer, zeggen we dat de gehele getallen een subset vormen van de rationale getallen.

De oude Grieken realiseerden zich dat niet alle getallen als een breuk kunnen worden gevormd. De vierkantswortel van 2 kan bijvoorbeeld niet worden uitgedrukt als een breuk. Dit soort getallen worden irrationele getallen genoemd. Irrationele getallen zijn er in overvloed, en enigszins verrassend zijn er in zekere zin meer irrationele getallen dan rationale getallen. Andere irrationele getallen zijn pi en e.

Decimale uitbreidingen

Elk reëel getal kan als een decimaal worden geschreven. Verschillende soorten reële getallen hebben verschillende soorten decimale uitbreidingen. De decimale uitbreiding van een rationaal getal eindigt, zoals 2, 3,25 of 1,2342, of herhaalt, zoals .33333 ... of .123123123 ... In tegenstelling hiermee is de decimale uitbreiding van een irrationeel getal niet eindigend en niet-herhalend. We kunnen dit zien in de decimale uitbreiding van pi. Er is een eindeloze reeks cijfers voor pi, en bovendien is er geen reeks cijfers die zich voor onbepaalde tijd herhaalt.

Visualisatie van reële getallen

De reële getallen kunnen worden gevisualiseerd door elk van hen te associëren met een van de oneindige aantal punten langs een rechte lijn. De reële getallen hebben een volgorde, wat betekent dat we voor elke twee afzonderlijke reële getallen kunnen zeggen dat de ene groter is dan de andere. Volgens afspraak komt het naar links verplaatsen op de reële getallenlijn overeen met steeds kleinere getallen. Naar rechts bewegen langs de reële getallenlijn komt overeen met steeds grotere getallen.

Basiseigenschappen van de reële getallen

De echte getallen gedragen zich als andere getallen waarmee we gewend zijn. We kunnen ze optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen (zolang we niet door nul delen). De volgorde van optellen en vermenigvuldigen is onbelangrijk, omdat er een commutatieve eigenschap is. Een distributieve eigenschap vertelt ons hoe vermenigvuldiging en optelling op elkaar inwerken.

Zoals eerder vermeld, hebben de reële cijfers een order. Gegeven twee echte getallen X en Y, we weten dat één en slechts één van de volgende waar is:

X = Y, X < Y of X > Y.

Nog een eigenschap - volledigheid

De eigenschap die de reële getallen onderscheidt van andere sets getallen, zoals de rationele waarden, is een eigenschap die bekend staat als volledigheid. Volledigheid is een beetje technisch om uit te leggen, maar het intuïtieve idee is dat de verzameling rationale getallen lacunes bevat. De reeks reële getallen heeft geen gaten, omdat deze compleet is.

Ter illustratie zullen we kijken naar de reeks van rationale getallen 3, 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415, ... Elke term van deze reeks is een benadering van pi, verkregen door de decimale uitbreiding voor pi af te kappen. De voorwaarden van deze reeks komen steeds dichter bij pi. Zoals we echter hebben vermeld, is pi geen rationaal getal. We moeten irrationele getallen gebruiken om de gaten in de getallenlijn te dichten die optreden door alleen de rationale getallen te bekijken.

Hoeveel echte getallen?

Het zal geen verrassing zijn dat er een oneindig aantal reële getallen zijn. Dit is vrij gemakkelijk te zien als we bedenken dat hele getallen een subset vormen van de reële getallen. We kunnen dit ook zien door te beseffen dat de getallenlijn een oneindig aantal punten heeft.

Wat verrassend is, is dat de oneindigheid die wordt gebruikt om de reële getallen te tellen van een andere soort is dan de oneindigheid die wordt gebruikt om de hele getallen te tellen. Hele getallen, gehele getallen en rationals zijn ontelbaar oneindig. De verzameling reële getallen is ontelbaar oneindig.

Waarom ze echt noemen?

Echte getallen krijgen hun naam om ze te onderscheiden van een nog verdere generalisatie van het begrip getal. Het denkbeeldige nummer ik wordt gedefinieerd als de vierkantswortel van negatieve. Elk reëel getal vermenigvuldigd met ik staat ook bekend als een denkbeeldig getal. Denkbeeldige getallen rekken ons conceptie van getal absoluut op, omdat ze helemaal niet zijn waar we aan dachten toen we voor het eerst leerden tellen.