Wat betekent eenheid in de wiskunde?

Het woord eenheid heeft veel betekenissen in de Engelse taal, maar het is misschien het best bekend om zijn meest eenvoudige en duidelijke definitie, die "de staat van zijn één is; eenheid". Hoewel het woord zijn eigen unieke betekenis heeft op het gebied van wiskunde, wijkt het unieke gebruik niet te ver, althans symbolisch, van deze definitie. In feite in de wiskunde, eenheid is gewoon een synoniem voor het getal "één" (1), het gehele getal tussen de gehele getallen nul (0) en twee (2).

De nummer één (1) vertegenwoordigt een enkele entiteit en het is onze eenheid van tellen. Het is het eerste niet-nul getal van onze natuurlijke getallen, dat zijn de getallen die worden gebruikt voor het tellen en bestellen, en het eerste van onze positieve gehele getallen of hele getallen. Het getal 1 is ook het eerste oneven getal van de natuurlijke getallen.

De nummer één (1) heeft eigenlijk meerdere namen, waarbij eenheid slechts één daarvan is. Het nummer 1 is ook bekend als eenheid, identiteit en multiplicatieve identiteit.

Eenheid als een identiteitselement

Eenheid, of de nummer één, vertegenwoordigt ook een identiteitselement, dat wil zeggen dat wanneer het wordt gecombineerd met een ander getal in een bepaalde wiskundige bewerking, het getal in combinatie met de identiteit ongewijzigd blijft. Bij de toevoeging van reële getallen is bijvoorbeeld nul (0) een identiteitselement omdat elk aan nul toegevoegd getal ongewijzigd blijft (bijvoorbeeld a + 0 = a en 0 + a = a). Eenheid, of één, is ook een identiteitselement wanneer toegepast op numerieke vermenigvuldigingsvergelijkingen omdat elk reëel getal vermenigvuldigd met eenheid ongewijzigd blijft (bijv. A x 1 = a en 1 x a = a). Het is vanwege dit unieke kenmerk van eenheid dat de multiplicatieve identiteit wordt genoemd.

Identiteitselementen zijn altijd hun eigen faculteit, dat wil zeggen dat het product van alle positieve gehele getallen kleiner dan of gelijk aan eenheid (1) eenheid (1) is. Identiteitselementen zoals eenheid zijn ook altijd hun eigen vierkant, kubus, enzovoort. Dat wil zeggen dat eenheid in het kwadraat (1 ^ 2) of in blokjes (1 ^ 3) gelijk is aan eenheid (1).

De betekenis van "Root of Unity" 

De wortel van eenheid verwijst naar de toestand waarin een willekeurig geheel getal voorkomt n, de nde wortel van een getal k is een getal dat, wanneer het met zichzelf wordt vermenigvuldigd n keer, levert het nummer op k. Een wortel van eenheid in, het meest eenvoudig gezegd, elk getal dat wanneer het zichzelf een aantal keren vermenigvuldigt altijd gelijk is aan 1. Daarom is een nDe wortel van eenheid is een willekeurig getal k die voldoet aan de volgende vergelijking:

k ^ n  = 1 (k naar de nde macht is gelijk aan 1), waar n is een positief geheel getal.

Wortels van eenheid worden ook soms de Moivre-nummers genoemd, naar de Franse wiskundige Abraham de Moivre. Wortels van eenheid worden traditioneel gebruikt in takken van de wiskunde zoals de getaltheorie.

Wanneer we reële getallen overwegen, zijn de enige twee die bij deze definitie van wortels van eenheid passen, de getallen één (1) en negatieve (-1). Maar het concept van de wortel van eenheid komt meestal niet in zo'n eenvoudige context voor. In plaats daarvan wordt de wortel van eenheid een onderwerp voor wiskundige discussie bij het omgaan met complexe getallen, die getallen kunnen worden uitgedrukt in de vorm een + bi, waar een en b zijn echte getallen en ik is de vierkantswortel van negatieve (-1) of een denkbeeldig getal. In feite is het nummer ik is zelf ook een wortel van eenheid.