Inzicht in de definitie van symmetrisch verschil

Settheorie gebruikt een aantal verschillende bewerkingen om nieuwe sets van oude te construeren. Er zijn verschillende manieren om bepaalde elementen uit bepaalde sets te selecteren en andere uit te sluiten. Het resultaat is meestal een set die verschilt van de originele. Het is belangrijk om goed gedefinieerde manieren te hebben om deze nieuwe sets te construeren, en voorbeelden hiervan zijn de unie, het snijpunt en het verschil van twee sets. Een vaste bewerking die misschien minder bekend is, wordt het symmetrische verschil genoemd.

Symmetrische verschildefinitie

Om de definitie van het symmetrische verschil te begrijpen, moeten we eerst het woord 'of' begrijpen. Hoewel klein, heeft het woord 'of' twee verschillende toepassingen in de Engelse taal. Het kan exclusief of inclusief zijn (en het is alleen exclusief in deze zin gebruikt). Als ons wordt verteld dat we kunnen kiezen uit A of B, en de betekenis is exclusief, dan hebben we misschien slechts een van de twee opties. Als de betekenis inclusief is, dan kunnen we A hebben, kunnen we B hebben, of kunnen we zowel A als B hebben.

Doorgaans begeleidt de context ons wanneer we het woord tegenkomen of en we hoeven niet eens na te denken over welke manier het wordt gebruikt. Als ons wordt gevraagd of we room of suiker in onze koffie willen, is het duidelijk dat we beide mogelijk hebben. In de wiskunde willen we dubbelzinnigheid wegnemen. Het woord 'of' in de wiskunde heeft dus een inclusieve betekenis.

Het woord 'of' wordt dus in de inclusieve betekenis gebruikt in de definitie van de unie. De vereniging van de sets A en B is de set elementen in A of B (inclusief die elementen in beide sets). Maar het wordt de moeite waard om een ​​setbewerking te hebben die de set met elementen in A of B construeert, waarbij 'of' in de exclusieve zin wordt gebruikt. Dit noemen we het symmetrische verschil. Het symmetrische verschil van de sets A en B zijn die elementen in A of B, maar niet in zowel A als B. Hoewel de notatie varieert voor het symmetrische verschil, zullen we dit schrijven als A ∆ B

Voor een voorbeeld van het symmetrische verschil zullen we de sets beschouwen EEN = 1,2,3,4,5 en B = 2,4,6. Het symmetrische verschil tussen deze sets is 1,3,5,6.

In termen van andere ingestelde bewerkingen

Andere ingestelde bewerkingen kunnen worden gebruikt om het symmetrische verschil te definiëren. Uit de bovenstaande definitie is het duidelijk dat we het symmetrische verschil van A en B kunnen uitdrukken als het verschil van de vereniging van A en B en het snijpunt van A en B. In symbolen schrijven we: A ∆ B = (A ∪ B) - (A ∩ B).

Een equivalente uitdrukking, met behulp van enkele verschillende setbewerkingen, helpt het symmetrische naamverschil te verklaren. In plaats van de bovenstaande formulering te gebruiken, kunnen we het symmetrische verschil als volgt schrijven: (A - B) ∪ (B - A). Hier zien we opnieuw dat het symmetrische verschil de verzameling elementen is in A maar niet B, of in B maar niet A. Dus we hebben die elementen uitgesloten op het snijpunt van A en B. Het is mogelijk om wiskundig te bewijzen dat deze twee formules zijn gelijkwaardig en verwijzen naar dezelfde set.

De naam Symmetrisch verschil

De naam symmetrische verschil suggereert een verband met het verschil van twee sets. Dit vastgestelde verschil is duidelijk in beide bovenstaande formules. In elk van hen werd een verschil van twee sets berekend. Wat het symmetrische verschil onderscheidt van het verschil, is de symmetrie. Door constructie kunnen de rollen van A en B worden veranderd. Dit geldt niet voor het verschil tussen twee sets.

Om dit punt te benadrukken, zullen we met slechts een beetje werk de symmetrie van het symmetrische verschil zien sinds we zien A ∆ B = (A - B) ∪ (B - A) = (B - A) ∪ (A - B) = B ∆ A.