De formule voor verwachte waarde

Een natuurlijke vraag om te stellen over een kansverdeling is: "Wat is het middelpunt?" De verwachte waarde is een dergelijke meting van het centrum van een kansverdeling. Omdat het het gemiddelde meet, is het geen verrassing dat deze formule is afgeleid van die van het gemiddelde.

Om een ​​startpunt te bepalen, moeten we de vraag beantwoorden: "Wat is de verwachte waarde?" Stel dat we een willekeurige variabele hebben die is gekoppeld aan een waarschijnlijkheidsexperiment. Laten we zeggen dat we dit experiment steeds opnieuw herhalen. Op de lange termijn van verschillende herhalingen van hetzelfde waarschijnlijkheidsexperiment, zouden we, als we al onze waarden van de willekeurige variabele zouden berekenen, de verwachte waarde verkrijgen. 

In wat volgt zullen we zien hoe de formule te gebruiken voor de verwachte waarde. We zullen zowel de discrete als de doorlopende instellingen bekijken en de overeenkomsten en verschillen in de formules zien.

De formule voor een discrete willekeurige variabele

We beginnen met het analyseren van de afzonderlijke casus. Gegeven een discrete willekeurige variabele X, stel dat het waarden heeft X₁, X₂, X₃,... X_n, en respectieve waarschijnlijkheden van p₁, p₂, p₃,... p_n. Dit zegt dat de kansmassafunctie voor deze willekeurige variabele geeft f(X_ik) = p_ik. 

De verwachte waarde van X wordt gegeven door de formule:

E (X) = X₁p₁ + X₂p₂ + X₃p₃ +... + X_np_n.

Met behulp van de kansmassa-functie en sommatie-notatie kunnen we deze formule als volgt compacter schrijven, waarbij de sommatie over de index wordt genomen ik:

E (X) = Σ X_ikf(X_ik).

Deze versie van de formule is handig om te zien, omdat deze ook werkt wanneer we een oneindige voorbeeldruimte hebben. Deze formule kan ook eenvoudig worden aangepast voor het doorlopende geval.

Een voorbeeld

Draai een munt drie keer om en laat hem los X wees het aantal hoofden. De willekeurige variabele X is discreet en eindig. De enige mogelijke waarden die we kunnen hebben zijn 0, 1, 2 en 3. Dit heeft een waarschijnlijkheidsverdeling van 1/8 voor X = 0, 3/8 voor X = 1, 3/8 voor X = 2, 1/8 voor X = 3. Gebruik de formule met de verwachte waarde om het volgende te verkrijgen:

(1/8) 0 + (3/8) 1 + (3/8) 2 + (1/8) 3 = 12/8 = 1.5

In dit voorbeeld zien we dat we op de lange termijn in totaal 1,5 koppen uit dit experiment zullen halen. Dit is logisch met onze intuïtie, want de helft van 3 is 1,5.

De formule voor een continue willekeurige variabele

We gaan nu naar een continue willekeurige variabele, die we zullen aangeven X. We laten de waarschijnlijkheidsdichtheid functioneren van X worden gegeven door de functie f(X). 

De verwachte waarde van X wordt gegeven door de formule:

E (X) = ∫ x f(X) dX.