Quasiconcave hulpprogramma functies

"Quasiconcave" is een wiskundig concept dat verschillende economische toepassingen kent. Om het belang van de toepassingen van de term in de economie te begrijpen, is het nuttig om te beginnen met een korte beschouwing van de oorsprong en betekenis van de term in de wiskunde.

Oorsprong van de Termijn

De term "quasiconcave" werd geïntroduceerd in het begin van de 20e eeuw in het werk van John von Neumann, Werner Fenchel en Bruno de Finetti, allemaal prominente wiskundigen met belangen in zowel theoretische als toegepaste wiskunde, hun onderzoek op gebieden zoals waarschijnlijkheidstheorie , speltheorie en topologie hebben uiteindelijk de basis gelegd voor een onafhankelijk onderzoeksveld dat bekend staat als 'gegeneraliseerde convexiteit'. Hoewel de term "quasiconcave: toepassingen heeft op vele gebieden, waaronder de economie, is het afkomstig van algemene convexiteit als een topologisch concept.

Definitie van Topologie

Wayne State Mathematics Professor Robert Bruner's korte en leesbare uitleg van topologie begint met het besef dat topologie een speciale vorm van geometrie is. Wat topologie onderscheidt van andere geometrische studies, is dat topologie meetkundige figuren behandelt als wezenlijk ("topologisch") equivalent als je door ze te buigen, te draaien en anderszins te vervormen de ene in de andere kunt veranderen.

Dit klinkt een beetje vreemd, maar bedenk dat als je een cirkel neemt en vanuit vier richtingen begint te squashen, je met een zorgvuldige squash een vierkant kunt produceren. Een vierkant en een cirkel zijn dus topologisch equivalent. Evenzo, als je een kant van een driehoek buigt totdat je ergens langs die kant een andere hoek hebt gemaakt, met meer buigen, duwen en trekken, kun je een driehoek in een vierkant veranderen. Nogmaals, een driehoek en een vierkant zijn topologisch equivalent. 

Quasiconcave als een topologische eigenschap

Quasiconcave is een topologische eigenschap die concaafheid omvat. Als je een wiskundige functie uitbeeldt en de grafiek min of meer lijkt op een slecht gemaakte kom met een paar hobbels erin, maar nog steeds een verdieping in het midden heeft en twee uiteinden die naar boven kantelen, dan is dat een quasiconcave-functie.

Het blijkt dat een concave functie slechts een specifieke instantie is van een quasiconcave-functie zonder functie. Vanuit het perspectief van een leek (een wiskundige heeft een meer rigoureuze manier om het uit te drukken), omvat een quasiconcave-functie alle concave functies en ook alle functies die over het algemeen concaaf zijn, maar die secties kunnen hebben die eigenlijk convex zijn. Nogmaals, stel je een slecht gemaakte kom voor met een paar hobbels en uitsteeksels erin. 

Toepassingen in economie

Een manier om de voorkeuren van consumenten (evenals veel ander gedrag) wiskundig weer te geven, is met een hulpprogramma. Als consumenten bijvoorbeeld de voorkeur geven aan goede A boven goede B, drukt de gebruiksfunctie U die voorkeur uit als:

                                 U (A)> U (B)

Als je deze functie uitzet voor een reeks consumenten en goederen uit de echte wereld, kan het zijn dat de grafiek een beetje op een schaal lijkt in plaats van op een rechte lijn, er zit een doorhanging in het midden. Deze doorbuiging vertegenwoordigt in het algemeen de aversie van de consument tegen risico's. Nogmaals, in de echte wereld is deze afkeer niet consistent: de grafiek van de voorkeuren van de consument lijkt een beetje op een onvolmaakte kom, een met een aantal hobbels erin. In plaats van concaaf te zijn, is het over het algemeen concaaf, maar niet perfect dus op elk punt in de grafiek, dat kleine secties van convexiteit kan hebben.

Met andere woorden, onze voorbeeldgrafiek van consumentenvoorkeuren (net als veel echte voorbeelden) is quasiconcave. Ze vertellen iedereen die meer wil weten over consumentengedrag - economen en bedrijven die bijvoorbeeld consumentengoederen verkopen - waar en hoe klanten reageren op veranderingen in goede hoeveelheden of kosten.