Waarschijnlijkheid van een kleine straat in Yahtzee in een enkele rol

Yahtzee is een dobbelspel dat vijf standaard zeszijdige dobbelstenen gebruikt. Bij elke beurt krijgen spelers drie rollen om verschillende doelen te bereiken. Na elke worp kan een speler beslissen welke van de dobbelstenen (indien aanwezig) moeten worden behouden en welke moeten worden omgedraaid. De doelstellingen omvatten een verscheidenheid aan verschillende combinaties, waarvan vele uit poker zijn overgenomen. Elke combinatie van verschillende soorten is een ander aantal punten waard.

Twee van de soorten combinaties die spelers moeten werpen worden rechte stukken genoemd: een kleine straat en een grote straat. Net als bij poker straights bestaan ​​deze combinaties uit opeenvolgende dobbelstenen. Kleine rechte stukken gebruiken vier van de vijf dobbelstenen en grote rechte stukken gebruiken alle vijf de dobbelstenen. Vanwege de willekeur van het gooien van dobbelstenen, kan de waarschijnlijkheid worden gebruikt om te analyseren hoe waarschijnlijk het is om een ​​klein rechte stuk in een enkele worp te gooien.

Veronderstellingen

We nemen aan dat de gebruikte dobbelstenen eerlijk en onafhankelijk van elkaar zijn. Er is dus een uniforme monsterruimte die bestaat uit alle mogelijke rollen van de vijf dobbelstenen. Hoewel Yahtzee drie rollen toestaat, zullen we voor de eenvoud alleen het geval beschouwen dat we een kleine rechte in een enkele rol krijgen.

Voorbeeldruimte

Omdat we met een uniforme steekproefruimte werken, wordt de berekening van onze waarschijnlijkheid een berekening van een aantal telproblemen. De kans op een kleine straat is het aantal manieren om een ​​kleine straat te rollen, gedeeld door het aantal resultaten in de steekproefruimte.

Het is heel eenvoudig om het aantal uitkomsten in de steekproefruimte te tellen. We werpen vijf dobbelstenen en elk van deze dobbelstenen kan een van zes verschillende uitkomsten hebben. Een basistoepassing van het vermenigvuldigingsprincipe vertelt ons dat de monsterruimte 6 x 6 x 6 x 6 x 6 = 6 heeft⁵ = 7776 resultaten. Dit getal zal de noemer zijn van de breuken die we gebruiken voor onze waarschijnlijkheid.

Aantal rechte stukken

Vervolgens moeten we weten hoeveel manieren er zijn om een ​​kleine straat te rollen. Dit is moeilijker dan het berekenen van de grootte van de voorbeeldruimte. We beginnen met het tellen van hoeveel rechte stukken mogelijk zijn.

Een kleine straat is gemakkelijker te rollen dan een grote straat, maar het is moeilijker om het aantal manieren te tellen om dit type straat te rollen. Een kleine straat bestaat uit precies vier opeenvolgende getallen. Omdat er zes verschillende vlakken van de dobbelsteen zijn, zijn er drie mogelijke kleine rechte stukken: 1, 2, 3, 4, 2, 3, 4, 5 en 3, 4, 5, 6. De moeilijkheid ontstaat bij het overwegen van wat er met de vijfde dobbelsteen gebeurt. In elk van deze gevallen moet de vijfde dobbelsteen een getal zijn dat geen grote straat oplevert. Als de eerste vier dobbelstenen bijvoorbeeld 1, 2, 3 en 4 waren, kon de vijfde dobbelsteen iets anders zijn dan 5. Als de vijfde dobbelsteen een 5 was, dan hadden we een grote straat in plaats van een kleine straat.

Dit betekent dat er vijf mogelijke rollen zijn die de kleine rechte 1, 2, 3, 4 geven, vijf mogelijke rollen die de kleine rechte 3, 4, 5, 6 geven en vier mogelijke rollen die de kleine rechte geven 2, 3, 4, 5. Dit laatste geval is anders omdat het gooien van een 1 of een 6 voor de vijfde dobbelsteen 2, 3, 4, 5 in een grote straat verandert. Dit betekent dat er 14 verschillende manieren zijn waarop vijf dobbelstenen ons een kleine straat kunnen geven.

Nu bepalen we het verschillende aantal manieren om een ​​bepaalde set dobbelstenen te werpen die ons een straat geven. Omdat we alleen moeten weten hoeveel manieren er zijn om dit te doen, kunnen we enkele basistechnieken gebruiken.

Van de 14 verschillende manieren om kleine rechte stukken te verkrijgen, zijn slechts twee van deze 1,2,3,4,6 en 1,3,4,5,6 sets met verschillende elementen. Er zijn er 5! = 120 manieren om elk te rollen voor een totaal van 2 x 5! = 240 kleine rechte stukken.

De andere 12 manieren om een ​​kleine straat te hebben zijn technisch multisets omdat ze allemaal een herhaald element bevatten. Voor één specifieke multiset, zoals [1,1,2,3,4], tellen we het aantal od verschillende manieren om dit te rollen. Zie de dobbelstenen als vijf posities op een rij:

• Er zijn C (5,2) = 10 manieren om de twee herhaalde elementen tussen de vijf dobbelstenen te plaatsen.
• Er zijn er 3! = 6 manieren om de drie verschillende elementen te rangschikken.

Door het vermenigvuldigingsprincipe zijn er 6 x 10 = 60 verschillende manieren om de dobbelstenen 1,1,2,3,4 in een enkele worp te werpen.

Er zijn 60 manieren om met deze vijfde dobbelsteen zo'n kleine straat te gooien. Aangezien er 12 multisets een verschillende lijst van vijf dobbelstenen geven, zijn er 60 x 12 = 720 manieren om een ​​klein straatje te werpen waarin twee dobbelstenen overeenkomen.

In totaal zijn er 2 x 5! + 12 x 60 = 960 manieren om een ​​klein rechte stuk te rollen.