Hoe de buigpunten van een normale verdeling te vinden

Een ding dat geweldig is aan wiskunde is de manier waarop ogenschijnlijk niet-gerelateerde gebieden van het onderwerp op verrassende manieren samenkomen. Een voorbeeld hiervan is de toepassing van een idee van calculus op de belcurve. Een hulpmiddel in calculus, bekend als de afgeleide, wordt gebruikt om de volgende vraag te beantwoorden. Waar zijn de buigpunten op de grafiek van de waarschijnlijkheidsdichtheidsfunctie voor de normale verdeling?

Buigpunten

Curven hebben verschillende functies die kunnen worden geclassificeerd en gecategoriseerd. Een item met betrekking tot curven dat we kunnen overwegen, is of de grafiek van een functie toeneemt of afneemt. Een ander kenmerk heeft betrekking op iets dat bekend staat als concaafheid. Dit kan grofweg worden gezien als de richting waarin een deel van de curve wordt geconfronteerd. Meer formeel concave is de richting van de kromming.

Van een deel van een curve wordt gezegd dat het concaaf omhoog is als het de vorm heeft van de letter U. Een deel van een curve is concaaf omlaag als het de vorm heeft van de volgende ∩. Het is gemakkelijk om te onthouden hoe dit eruit ziet als we denken aan een grot die naar boven opengaat voor concaaf omhoog of omlaag voor concaaf omlaag. Een buigpunt is waar een curve de concaafheid verandert. Met andere woorden, het is een punt waar een curve van concaaf omhoog naar concaaf omlaag gaat, of vice versa.

Tweede derivaten

In calculus is de afgeleide een hulpmiddel dat op verschillende manieren wordt gebruikt. Hoewel het meest bekende gebruik van de afgeleide is om de helling van een lijn die een kromme raakt op een bepaald punt te bepalen, zijn er andere toepassingen. Een van deze toepassingen heeft te maken met het vinden van buigpunten van de grafiek van een functie.

Als de grafiek van y = f (x) heeft een buigpunt op x = a, dan de tweede afgeleide van f geëvalueerd om een is nul. We schrijven dit in wiskundige notatie als f "(a) = 0. Als de tweede afgeleide van een functie op een punt nul is, betekent dit niet automatisch dat we een buigpunt hebben gevonden. We kunnen echter zoeken naar potentiële buigpunten door te kijken waar de tweede afgeleide nul is. We zullen deze methode gebruiken om de locatie van de buigpunten van de normale verdeling te bepalen.

Buigpunten van de klokcurve

Een willekeurige variabele die normaal wordt verdeeld met gemiddelde μ en standaardafwijking van σ heeft een kansdichtheidsfunctie van

f (x) = 1 / (σ √ (2 π)) exp [- (x - μ)²/ (2σ²)].

Hier gebruiken we de notatie exp [y] = e^Y, waar e is de wiskundige constante benaderd door 2.71828.

De eerste afgeleide van deze kansdichtheidsfunctie wordt gevonden door de afgeleide te kennen voor e^X en het toepassen van de kettingregel.

f '(x) = - (x - μ) / (σ³ √ (2 π)) exp [- (x -μ) ²/ (2σ²)] = - (x - μ) f (x) / σ².

We berekenen nu de tweede afgeleide van deze kansdichtheidsfunctie. We gebruiken de productregel om te zien dat:

f "(x) = - f (x) / σ² - (x - μ) f '(x) / σ²

Vereenvoudiging van deze uitdrukking die we hebben

f "(x) = - f (x) / σ² + (x - μ)² f (x) / (σ⁴)

Stel nu deze uitdrukking in op nul en los op voor X. Sinds f (x) is een niet-nulfunctie, kunnen we beide kanten van de vergelijking door deze functie delen.