Hoe graden van vrijheid in de statistiek te vinden

Veel statistische inferentieproblemen vereisen dat we het aantal vrijheidsgraden vinden. Het aantal vrijheidsgraden selecteert een enkele kansverdeling uit oneindig veel. Deze stap is een vaak over het hoofd gezien maar cruciaal detail in zowel de berekening van betrouwbaarheidsintervallen als de werking van hypothesetests.

Er is geen enkele algemene formule voor het aantal vrijheidsgraden. Er zijn echter specifieke formules gebruikt voor elk type procedure in inferentiële statistieken. Met andere woorden, de instelling waarin we werken, bepaalt het aantal vrijheidsgraden. Wat volgt is een gedeeltelijke lijst van enkele van de meest voorkomende inferentieprocedures, samen met het aantal vrijheidsgraden dat in elke situatie wordt gebruikt.

Standaard normale verdeling

Procedures met standaard normale distributie worden vermeld voor de volledigheid en om enkele misvattingen op te lossen. Voor deze procedures hoeven we niet het aantal vrijheidsgraden te vinden. De reden hiervoor is dat er een enkele standaard normale verdeling is. Dit soort procedures omvat procedures waarbij een populatiegemiddelde betrokken is wanneer de standaarddeviatie van de populatie al bekend is, en ook procedures met betrekking tot populatieverhoudingen.

Eén voorbeeld T-procedures

Soms vereist de statistische praktijk dat we de t-distributie van Student gebruiken. Voor deze procedures, zoals die met een populatiegemiddelde met onbekende populatiestandaarddeviatie, is het aantal vrijheidsgraden één minder dan de steekproefomvang. Dus als de steekproefgrootte is n, dan zijn er n - 1 vrijheidsgraden.

T-procedures met gepaarde gegevens

Het is vaak zinvol om gegevens als gekoppeld te behandelen. De koppeling wordt meestal uitgevoerd vanwege een verbinding tussen de eerste en tweede waarde in ons paar. Vaak zouden we voor en na metingen paren. Onze steekproef van gepaarde gegevens is niet onafhankelijk; het verschil tussen elk paar is echter onafhankelijk. Dus als het monster een totaal heeft van n paren gegevenspunten (voor een totaal van 2n waarden) dan zijn er n - 1 vrijheidsgraden.

T-procedures voor twee onafhankelijke populaties

Voor dit soort problemen gebruiken we nog steeds een t-distributie. Deze keer is er een steekproef van elk van onze populaties. Hoewel het de voorkeur verdient om deze twee steekproeven van dezelfde grootte te hebben, is dit niet noodzakelijk voor onze statistische procedures. We kunnen dus twee steekproeven van grootte hebben n₁ en n₂. Er zijn twee manieren om het aantal vrijheidsgraden te bepalen. De meer nauwkeurige methode is om Welch's formule te gebruiken, een rekenkundig omslachtige formule waarbij de steekproefgrootten en steekproefstandaardafwijkingen betrokken zijn. Een andere benadering, de conservatieve benadering genoemd, kan worden gebruikt om snel de vrijheidsgraden te schatten. Dit is gewoon de kleinste van de twee nummers n₁ - 1 en n₂ - 1.

Chi-plein voor onafhankelijkheid

Een gebruik van de chikwadraattoets is om te zien of twee categorische variabelen, elk met verschillende niveaus, onafhankelijkheid vertonen. De informatie over deze variabelen wordt vastgelegd in een tabel met twee richtingen r rijen en c kolommen. Het aantal vrijheidsgraden is het product (r - 1) (c - 1).

Chi-Square Goodness of Fit

Chi-square goodness of fit begint met een enkele categorische variabele met een totaal van n levels. We testen de hypothese dat deze variabele overeenkomt met een vooraf bepaald model. Het aantal vrijheidsgraden is één minder dan het aantal niveaus. Met andere woorden, er zijn n - 1 vrijheidsgraden.

Eén factor ANOVA

Met één factoranalyse van variantie (ANOVA) kunnen we vergelijkingen tussen verschillende groepen maken, waardoor de noodzaak voor meerdere paarsgewijze hypothesetests wordt geëlimineerd. Omdat de test vereist dat we zowel de variatie tussen verschillende groepen als de variatie binnen elke groep meten, hebben we twee vrijheidsgraden. De F-statistiek, die wordt gebruikt voor één factor ANOVA, is een breuk. De teller en noemer hebben elk vrijheidsgraden. Laat c het aantal groepen zijn en n is het totale aantal gegevenswaarden. Het aantal vrijheidsgraden voor de teller is één minder dan het aantal groepen, of c - 1. Het aantal vrijheidsgraden voor de noemer is het totale aantal gegevenswaarden minus het aantal groepen, of n - c.

Het is duidelijk dat we heel voorzichtig moeten zijn om te weten met welke inleidingsprocedure we werken. Deze kennis zal ons informeren over het juiste aantal vrijheidsgraden.