Feiten over het getal e 2.7182818284590452…

Als je iemand zou vragen om zijn of haar favoriete wiskundige constante te noemen, zou je waarschijnlijk een vragend uiterlijk krijgen. Na een tijdje kan iemand vrijwilliger zijn dat de beste constante pi is. Maar dit is niet de enige belangrijke wiskundige constante. Een goede tweede, zo niet kanshebber voor de kroon van de meest alomtegenwoordige constante is e. Dit getal verschijnt in calculus, getaltheorie, kansrekening en statistieken. We zullen enkele van de kenmerken van dit opmerkelijke aantal onderzoeken en zien welke verbanden het heeft met statistieken en waarschijnlijkheid.

Waarde van e

Zoals pi, e is een irrationeel reëel getal. Dit betekent dat het niet als een breuk kan worden geschreven en dat de decimale expansie voor altijd doorgaat zonder een herhalend blok getallen dat zich continu herhaalt. Het nummer e is ook transcendentaal, wat betekent dat het niet de wortel is van een niet-nul polynoom met rationele coëfficiënten. De eerste vijftig decimalen van worden gegeven door e = 2.71828182845904523536028747135266249775724709369995.

Definitie van e

Het nummer e werd ontdekt door mensen die nieuwsgierig waren naar samengestelde interesse. In deze vorm van rente verdient de hoofdsom rente en vervolgens genereert de gegenereerde rente zichzelf. Er werd opgemerkt dat hoe groter de frequentie van bereidingsperioden per jaar, hoe hoger de hoeveelheid gegenereerde rente. We kunnen bijvoorbeeld kijken naar rente die wordt verergerd:

• Jaarlijks of eenmaal per jaar
• Halfjaarlijks of twee keer per jaar
• Maandelijks of 12 keer per jaar
• Dagelijks of 365 keer per jaar

Het totale bedrag aan rente stijgt voor elk van deze gevallen.

De vraag rees hoeveel geld eventueel aan rente kon worden verdiend. Om te proberen nog meer geld te verdienen, zouden we in theorie het aantal samengestelde perioden kunnen verhogen tot een zo hoog aantal als we wilden. Het eindresultaat van deze stijging is dat we zouden overwegen de rente continu te verergeren.

Terwijl de gegenereerde interesse toeneemt, doet het dit heel langzaam. De totale hoeveelheid geld op de rekening stabiliseert eigenlijk, en de waarde waar dit zich op stabiliseert is e. Om dit uit te drukken met behulp van een wiskundige formule zeggen we dat de limiet als n toenames van (1 + 1 /n)ⁿ = e.

Gebruik van e

Het nummer e verschijnt in de hele wiskunde. Hier zijn enkele plaatsen waar het opduikt:

• Het is de basis van het natuurlijke logaritme. Sinds Napier logaritmen uitvond, e wordt soms de constante van Napier genoemd.
• In calculus, de exponentiële functie e^X heeft de unieke eigenschap dat het een eigen derivaat is.
• Uitdrukkingen waarbij e^X en e^-X combineren om de hyperbolische sinus- en hyperbolische cosinusfuncties te vormen.
• Dankzij het werk van Euler weten we dat de fundamentele constanten van wiskunde met elkaar verbonden zijn door de formule e^iΠ +1 = 0, waar ik is het denkbeeldige getal dat de vierkantswortel is van een negatief getal.
• Het nummer e verschijnt in verschillende formules in de wiskunde, vooral op het gebied van de getaltheorie.

De waarde e in de statistiek

Het belang van het nummer e is niet beperkt tot slechts enkele gebieden van de wiskunde. Het nummer kan ook op verschillende manieren worden gebruikt e in statistieken en waarschijnlijkheid. Een paar hiervan zijn de volgende:

• Het nummer e verschijnt in de formule voor de gamma-functie.
• De formules voor de standaard normale verdeling omvatten e naar een negatieve kracht. Deze formule bevat ook pi.
• Bij veel andere distributies wordt het nummer gebruikt e. De formules voor de t-verdeling, gamma-verdeling en chikwadraatverdeling bevatten bijvoorbeeld allemaal het nummer e.