Voorbeeld van een permutatietest

Een vraag die het altijd belangrijk is om in de statistiek te stellen, is: "Is het waargenomen resultaat alleen door toeval of is het statistisch significant?" Met één klasse van hypothesetests, permutatietests genaamd, kunnen we deze vraag testen. Het overzicht en de stappen van een dergelijke test zijn:

• We splitsten onze proefpersonen op in een controle- en een experimentele groep. De nulhypothese is dat er geen verschil is tussen deze twee groepen.
• Pas een behandeling toe op de experimentele groep.
• Meet de reactie op de behandeling
• Overweeg elke mogelijke configuratie van de experimentele groep en de waargenomen respons.
• Bereken een p-waarde op basis van onze waargenomen respons ten opzichte van alle potentiële experimentele groepen.

Dit is een schets van een permutatie. Ter samenvatting van deze schets zullen we tijd besteden aan het in detail bekijken van een uitgewerkt voorbeeld van een dergelijke permutatietest.

Voorbeeld

Stel dat we muizen bestuderen. We zijn met name geïnteresseerd in hoe snel de muizen een doolhof afmaken dat ze nog nooit eerder zijn tegengekomen. We willen bewijs leveren voor een experimentele behandeling. Het doel is om aan te tonen dat muizen in de behandelingsgroep het doolhof sneller zullen oplossen dan onbehandelde muizen. 

We beginnen met onze onderwerpen: zes muizen. Voor het gemak zullen de muizen worden aangeduid met de letters A, B, C, D, E, F. Drie van deze muizen worden willekeurig gekozen voor de experimentele behandeling en de andere drie worden in een controlegroep geplaatst waarin de proefpersonen krijgen een placebo.

We zullen vervolgens willekeurig de volgorde kiezen waarin de muizen worden geselecteerd om het doolhof te rennen. De tijd die is besteed aan het voltooien van het doolhof voor alle muizen zal worden genoteerd en een gemiddelde van elke groep zal worden berekend.

Stel dat onze willekeurige selectie muizen A, C en E in de experimentele groep heeft, met de andere muizen in de placebogroep. Nadat de behandeling is geïmplementeerd, kiezen we willekeurig de volgorde waarin de muizen door het doolhof lopen. 

De looptijden voor elk van de muizen zijn:

• Muis A voert de race uit in 10 seconden
• Muis B loopt de race in 12 seconden
• Muis C loopt de race in 9 seconden
• Muis D rent de race in 11 seconden
• Muis E loopt de race in 11 seconden
• Muis F rent de race in 13 seconden.

De gemiddelde tijd om het doolhof voor de muizen in de experimentele groep te voltooien is 10 seconden. De gemiddelde tijd om het doolhof te voltooien voor degenen in de controlegroep is 12 seconden.

We kunnen een paar vragen stellen. Is de behandeling echt de reden voor de snellere gemiddelde tijd? Of hadden we gewoon geluk in onze selectie van controle- en experimentele groep? De behandeling heeft mogelijk geen effect gehad en we kozen willekeurig de langzamere muizen om de placebo te ontvangen en snellere muizen om de behandeling te ontvangen. Een permutatietest zal helpen om deze vragen te beantwoorden.

hypothesen

De hypothesen voor onze permutatietest zijn:

• De nulhypothese is de verklaring van geen effect. Voor deze specifieke test hebben we H₀: Er is geen verschil tussen behandelingsgroepen. De gemiddelde tijd om het doolhof te laten draaien voor alle muizen zonder behandeling is hetzelfde als de gemiddelde tijd voor alle muizen met de behandeling.
• De alternatieve hypothese is waar we bewijs voor proberen te verkrijgen. In dit geval zouden we H hebben_een: De gemiddelde tijd voor alle muizen met de behandeling zal sneller zijn dan de gemiddelde tijd voor alle muizen zonder de behandeling.

permutaties

Er zijn zes muizen en er zijn drie plaatsen in de experimentele groep. Dit betekent dat het aantal mogelijke experimentele groepen wordt gegeven door het aantal combinaties C (6,3) = 6! / (3! 3!) = 20. De resterende individuen zouden deel uitmaken van de controlegroep. Er zijn dus 20 verschillende manieren om willekeurig individuen in onze twee groepen te kiezen.

De toewijzing van A, C en E aan de experimentele groep werd willekeurig gedaan. Aangezien er 20 dergelijke configuraties zijn, heeft de specifieke met A, C en E in de experimentele groep een waarschijnlijkheid van 1/20 = 5%.