Uitdagende telproblemen en oplossingen

Tellen kan een gemakkelijke taak lijken om uit te voeren. Naarmate we dieper ingaan op het gebied van wiskunde dat bekend staat als combinatoriek, realiseren we ons dat we enkele grote aantallen tegenkomen. Omdat de faculteit zo vaak verschijnt, en een aantal zoals 10! groter is dan drie miljoen, kunnen het tellen van problemen heel snel ingewikkeld worden als we proberen alle mogelijkheden op te sommen.

Soms, wanneer we alle mogelijkheden overwegen die onze telproblemen kunnen hebben, is het gemakkelijker om de onderliggende principes van het probleem te overdenken. Deze strategie kan veel minder tijd kosten dan het proberen van brute kracht om een ​​aantal combinaties of permutaties op te sommen.

De vraag "Hoeveel manieren kan iets worden gedaan?" is een andere vraag dan "Wat zijn de manieren waarop iets kan worden gedaan?" We zullen dit idee aan het werk zien in de volgende reeks uitdagende telproblemen.

De volgende reeks vragen betreft het woord DRIEHOEK. Merk op dat er in totaal acht letters zijn. Laat het duidelijk zijn dat de klinkers van het woord TRIANGLE AEI zijn, en de medeklinkers van het woord TRIANGLE zijn LGNRT. Voor een echte uitdaging, bekijk voordat u verder leest een versie van deze problemen zonder oplossingen.

De problemen

1. Hoeveel manieren kunnen de letters van het woord TRIANGLE worden gerangschikt?
   Oplossing: Hier zijn er in totaal acht keuzes voor de eerste letter, zeven voor de tweede, zes voor de derde, enzovoort. Door het vermenigvuldigingsprincipe vermenigvuldigen we voor een totaal van 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 8! = 40.320 verschillende manieren.
2. Hoeveel manieren kunnen de letters van het woord TRIANGLE worden gerangschikt als de eerste drie letters RAN moeten zijn (in die exacte volgorde)?
   Oplossing: De eerste drie letters zijn voor ons gekozen, waardoor er nog vijf over zijn. Na RAN hebben we vijf keuzes voor de volgende letter gevolgd door vier, dan drie, dan twee en dan één. Door het vermenigvuldigingsprincipe zijn er 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 5! = 120 manieren om de letters op een bepaalde manier te rangschikken.
3. Hoeveel manieren kunnen de letters van het woord TRIANGLE worden gerangschikt als de eerste drie letters RAN moeten zijn (in willekeurige volgorde)?
   Oplossing: Zie dit als twee onafhankelijke taken: de eerste rangschikking van de letters RAN en de tweede rangschikking van de andere vijf letters. Er zijn er 3! = 6 manieren om RAN te rangschikken en 5! Manieren om de andere vijf letters te rangschikken. Er zijn er dus in totaal 3! x 5! = 720 manieren om de letters TRIANGLE te rangschikken zoals gespecificeerd.
4. Hoeveel manieren kunnen de letters van het woord TRIANGLE worden gerangschikt als de eerste drie letters RAN moeten zijn (in willekeurige volgorde) en de laatste letter een klinker moet zijn?
   Oplossing: Zie dit als drie taken: de eerste rangschikking van de letters RAN, de tweede een klinker kiezen uit I en E, en de derde rangschikking van de andere vier letters. Er zijn er 3! = 6 manieren om RAN te rangschikken, 2 manieren om een ​​klinker te kiezen uit de resterende letters en 4! Manieren om de andere vier letters te rangschikken. Er zijn er dus in totaal 3! X 2 x 4! = 288 manieren om de letters TRIANGLE te rangschikken zoals gespecificeerd.
5. Hoeveel manieren kunnen de letters van het woord TRIANGLE worden gerangschikt als de eerste drie letters RAN moeten zijn (in elke volgorde) en de volgende drie letters TRI moeten zijn (in elke volgorde)?
   Oplossing: We hebben weer drie taken: de eerste rangschikking van de letters RAN, de tweede rangschikking van de letters TRI en de derde rangschikking van de andere twee letters. Er zijn er 3! = 6 manieren om RAN te rangschikken, 3! manieren om TRI te rangschikken en twee manieren om de andere letters te rangschikken. Er zijn er dus in totaal 3! x 3! X 2 = 72 manieren om de letters van TRIANGLE te rangschikken zoals aangegeven.
6. Hoeveel verschillende manieren kunnen de letters van het woord TRIANGLE worden gerangschikt als de volgorde en de plaatsing van de klinkers IAE niet kunnen worden gewijzigd?
   Oplossing: De drie klinkers moeten in dezelfde volgorde worden bewaard. Nu zijn er in totaal vijf medeklinkers te regelen. Dit kan in 5! = 120 manieren.
7. Hoeveel verschillende manieren kunnen de letters van het woord TRIANGLE worden gerangschikt als de volgorde van de klinkers IAE niet kan worden gewijzigd, hoewel hun plaatsing wel (IAETRNGL en TRIANGEL zijn acceptabel, maar EIATRNGL en TRIENGLA niet)?
   Oplossing: Dit kan het beste in twee stappen worden gedacht. Stap één is om de plaatsen te kiezen waar de klinkers naartoe gaan. Hier kiezen we drie van de acht plaatsen, en de volgorde waarin we dit doen is niet belangrijk. Dit is een combinatie en er zijn er in totaal C(8,3) = 56 manieren om deze stap uit te voeren. De resterende vijf letters kunnen in 5 worden gerangschikt! = 120 manieren. Dit geeft in totaal 56 x 120 = 6720 arrangementen.
8. Hoeveel verschillende manieren kunnen de letters van het woord TRIANGLE worden gerangschikt als de volgorde van de klinkers IAE kan worden gewijzigd, hoewel hun plaatsing mogelijk niet?
   Oplossing: Dit is echt hetzelfde als # 4 hierboven, maar met verschillende letters. We rangschikken drie letters in 3! = 6 manieren en de andere vijf letters in 5! = 120 manieren. Het totale aantal manieren voor dit arrangement is 6 x 120 = 720.
9. Hoeveel verschillende manieren kunnen zes letters van het woord TRIANGLE worden gerangschikt?
   Oplossing: Omdat we het hebben over een regeling, is dit een permutatie en er zijn er in totaal P(8, 6) = 8! / 2! = 20,160 manieren.
10. Hoeveel verschillende manieren kunnen zes letters van het woord TRIANGLE worden gerangschikt als er een gelijk aantal klinkers en medeklinkers moet zijn?
    Oplossing: Er is maar één manier om de klinkers te selecteren die we gaan plaatsen. De medeklinkers kiezen kan in C(5, 3) = 10 manieren. Er zijn er dan 6! manieren om de zes letters te rangschikken. Vermenigvuldig deze getallen met elkaar voor het resultaat van 7200.
11. Hoeveel verschillende manieren kunnen zes letters van het woord TRIANGLE worden gerangschikt als er minimaal één medeklinker moet zijn?
    Oplossing: Elk arrangement van zes letters voldoet aan de voorwaarden, dus die zijn er P(8, 6) = 20.160 manieren.
12. Hoeveel verschillende manieren kunnen zes letters van het woord TRIANGLE worden gerangschikt als de klinkers moeten worden afgewisseld met medeklinkers?
    Oplossing: Er zijn twee mogelijkheden, de eerste letter is een klinker of de eerste letter is een medeklinker. Als de eerste letter een klinker is, hebben we drie keuzes, gevolgd door vijf voor een medeklinker, twee voor een tweede klinker, vier voor een tweede medeklinker, één voor de laatste klinker en drie voor de laatste medeklinker. We vermenigvuldigen dit om 3 x 5 x 2 x 4 x 1 x 3 = 360 te verkrijgen. Door symmetrieargumenten zijn er hetzelfde aantal arrangementen dat begint met een medeklinker. Dit geeft in totaal 720 arrangementen.
13. Hoeveel verschillende sets van vier letters kunnen worden gevormd uit het woord DRIEHOEK?
    Oplossing: Omdat we het hebben over een set van vier letters uit een totaal van acht, is de volgorde niet belangrijk. We moeten de combinatie berekenen C(8, 4) = 70.
14. Hoeveel verschillende sets van vier letters kunnen worden gevormd uit het woord TRIANGLE dat twee klinkers en twee medeklinkers heeft?
    Oplossing: Hier vormen we onze set in twee stappen. Er zijn C(3, 2) = 3 manieren om twee klinkers te kiezen uit een totaal van 3. Er zijn C(5, 2) = 10 manieren om te kiezen voor medeklinkers uit de vijf beschikbare. Dit geeft in totaal 3x10 = 30 sets mogelijk.
15. Hoeveel verschillende sets van vier letters kunnen worden gevormd uit het woord DRIEHOEK als we minstens één klinker willen?
    Oplossing: Dit kan als volgt worden berekend:

• Het aantal sets van vier met één klinker is C(3, 1) x C(5, 3) = 30.
• Het aantal sets van vier met twee klinkers is C(3, 2) x C(5, 2) = 30.
• Het aantal sets van vier met drie klinkers is C(3, 3) x C(5, 1) = 5.

Dit geeft in totaal 65 verschillende sets. Als alternatief kunnen we berekenen dat er 70 manieren zijn om een ​​set van vier letters te vormen en de aftrekken C(5, 4) = 5 manieren om een ​​set zonder klinkers te verkrijgen.