Werkblad voor de ongelijkheid van Chebyshev

De ongelijkheid van Chebyshev zegt dat ten minste 1 -1 /K² van gegevens uit een monster moet binnen vallen K standaardafwijkingen van het gemiddelde, waar K is een positief reëel getal groter dan één. Dit betekent dat we de vorm van de distributie van onze gegevens niet hoeven te kennen. Met alleen het gemiddelde en de standaarddeviatie kunnen we de hoeveelheid gegevens bepalen van een bepaald aantal standaarddeviaties van het gemiddelde.

Hierna volgen enkele problemen om te oefenen met het gebruik van de ongelijkheid.

Voorbeeld 1

Een klasse van tweede klassers heeft een gemiddelde hoogte van vijf voet met een standaardafwijking van één inch. Welk percentage van de klas moet tussen 4'10 "en 5'2" liggen?

Oplossing

De hoogten die in het bovenstaande bereik worden gegeven, liggen binnen twee standaardafwijkingen van de gemiddelde hoogte van vijf voet. De ongelijkheid van Chebyshev zegt dat minstens 1 - 1/2² = 3/4 = 75% van de klasse valt binnen het gegeven hoogtebereik.

Voorbeeld 2

Computers van een bepaald bedrijf gaan gemiddeld drie jaar mee zonder hardwarefouten, met een standaardafwijking van twee maanden. Tenminste welk percentage van de computers gaat tussen 31 en 41 maanden mee?

Oplossing

De gemiddelde levensduur van drie jaar komt overeen met 36 maanden. De tijden van 31 maanden tot 41 maanden zijn elk 5/2 = 2,5 standaardafwijkingen van het gemiddelde. Door de ongelijkheid van Chebyshev, ten minste 1 - 1 / (2.5) 6² = 84% van de computers gaat van 31 tot 41 maanden mee.

Voorbeeld # 3

Bacteriën in een cultuur leven gemiddeld drie uur met een standaardafwijking van 10 minuten. Tenminste welke fractie van de bacteriën leeft tussen twee en vier uur?

Oplossing

Twee en vier uur zijn elk een uur verwijderd van het gemiddelde. Een uur komt overeen met zes standaardafwijkingen. Dus minstens 1 - 1/6² = 35/36 = 97% van de bacteriën leeft tussen twee en vier uur.

Voorbeeld 4

Wat is het kleinste aantal standaardafwijkingen van het gemiddelde dat we moeten gaan als we ervoor willen zorgen dat we ten minste 50% van de gegevens van een distributie hebben?

Oplossing

Hier gebruiken we de ongelijkheid van Chebyshev en werken we achteruit. We willen 50% = 0,50 = 1/2 = 1 - 1 /K². Het doel is om algebra op te lossen voor K.

We zien dat 1/2 = 1 /K². Kruis vermenigvuldigen en zie dat 2 =K². We nemen de vierkantswortel van beide kanten, en sindsdien K is een aantal standaardafwijkingen, negeren we de negatieve oplossing voor de vergelijking. Dit laat zien dat K is gelijk aan de vierkantswortel van twee. Dus ten minste 50% van de gegevens valt binnen ongeveer 1,4 standaardafwijkingen van het gemiddelde.

Voorbeeld 5

Busroute 25 duurt een gemiddelde tijd van 50 minuten met een standaardafwijking van 2 minuten. Op een promotie-poster voor dit bussysteem staat dat "95% van de tijdbusroute # 25 van ____ tot _____ minuten duurt." Met welke cijfers vult u de lege plekken in?