Wat zijn de wetten van De Morgan?

Wiskundige statistieken vereisen soms het gebruik van verzamelingenleer. De wetten van De Morgan zijn twee uitspraken die de interacties beschrijven tussen verschillende bewerkingen van verzamelingenleer. De wetten zijn dat voor elke twee sets EEN en B:

1. (EEN ∩ B)^C = EEN^C U B^C.
2. (EEN U B)^C = EEN^C ∩ B^C.

Na het uitleggen wat elk van deze uitspraken betekent, zullen we een voorbeeld bekijken van elk van deze wordt gebruikt.

Stel theoriebewerkingen in

Om te begrijpen wat De Morgan's Laws zeggen, moeten we enkele definities van set-theorie-operaties herinneren. In het bijzonder moeten we weten over de vereniging en kruising van twee sets en het complement van een set.

De Morgan's Laws hebben betrekking op de interactie van de unie, kruising en complement. Herhaal dat:

• Het snijpunt van de sets EEN en B bestaat uit alle elementen die beide gemeen hebben EEN en B. Het kruispunt wordt aangegeven met EEN ∩ B.
• De vereniging van de sets EEN en B bestaat uit alle elementen die in beide EEN of B, inclusief de elementen in beide sets. Het kruispunt wordt aangegeven met A U B.
• Het complement van de set EEN bestaat uit alle elementen die geen elementen zijn van EEN. Dit complement wordt aangeduid met A^C.

Nu we deze elementaire operaties hebben teruggeroepen, zullen we de verklaring van De Morgan's Laws zien. Voor elk paar sets EEN en B wij hebben:

1. (EEN ∩ B)^C = EEN^C U B^C
2. (EEN U B)^C = EEN^C ∩ B^C

Deze twee verklaringen kunnen worden geïllustreerd door het gebruik van Venn-diagrammen. Zoals hieronder te zien is, kunnen we dit demonstreren aan de hand van een voorbeeld. Om aan te tonen dat deze uitspraken waar zijn, moeten we ze bewijzen met behulp van definities van set-theorie-bewerkingen.

Voorbeeld van de wetten van De Morgan

Beschouw bijvoorbeeld de reeks reële getallen van 0 tot 5. We schrijven dit in intervalnotatie [0, 5]. Binnen deze set hebben we EEN = [1, 3] en B = [2, 4]. Bovendien hebben we na het toepassen van onze elementaire bewerkingen:

• Het complement EEN^C = [0, 1) U (3, 5]
• Het complement B^C = [0, 2) U (4, 5]
• De vakbond EEN U B = [1, 4]
• Het kruispunt EEN ∩ B = [2, 3]

We beginnen met het berekenen van de unie EEN^C U B^C.  We zien dat de vereniging van [0, 1) U (3, 5] met [0, 2) U (4, 5] [0, 2) U (3, 5] is. EEN ∩ B is [2, 3]. We zien dat het complement van deze set [2, 3] ook [0, 2) U (3, 5] is. Op deze manier hebben we aangetoond dat EEN^C U B^C = (EEN ∩ B)^C.

Nu zien we het snijpunt van [0, 1) U (3, 5] met [0, 2) U (4, 5] is [0, 1) U (4, 5]. We zien ook dat het complement van [ 1, 4] is ook [0, 1) U (4, 5]. Op deze manier hebben we dat aangetoond EEN^C ∩ B^C = (EEN U B)^C.

Naamgeving van De Morgan's Laws

Door de hele geschiedenis van de logica hebben mensen zoals Aristoteles en William van Ockham verklaringen afgelegd die gelijkwaardig zijn aan de wetten van De Morgan. 

De wetten van De Morgan zijn vernoemd naar Augustus De Morgan, die leefde van 1806-1871. Hoewel hij deze wetten niet ontdekte, was hij de eerste die deze verklaringen formeel introduceerde met behulp van een wiskundige formulering in propositionele logica.