Significante cijfers gebruiken bij nauwkeurige metingen

Bij het uitvoeren van een meting kan een wetenschapper alleen een bepaald niveau van precisie bereiken, beperkt door de gebruikte hulpmiddelen of de fysieke aard van de situatie. Het meest voor de hand liggende voorbeeld is het meten van afstand.

Overweeg wat er gebeurt bij het meten van de afstand die een object heeft verplaatst met een meetlint (in metrische eenheden). Het meetlint is waarschijnlijk opgesplitst in de kleinste eenheden van millimeters. Daarom is er geen manier om te meten met een precisie groter dan een millimeter. Als het object 57.215493 millimeter beweegt, kunnen we daarom alleen maar zeker weten dat het 57 millimeter (of 5,7 centimeter of 0,057 meter heeft verplaatst, afhankelijk van de voorkeur in die situatie).

Over het algemeen is dit afrondingsniveau prima. De exacte verplaatsing van een normaal object tot op een millimeter zou eigenlijk een behoorlijk indrukwekkende prestatie zijn. Stel je voor dat je de beweging van een auto tot op de millimeter probeert te meten, en je zult zien dat dit in het algemeen niet nodig is. In de gevallen waarin dergelijke precisie nodig is, gebruikt u tools die veel geavanceerder zijn dan een meetlint.

Het aantal betekenisvolle getallen in een meting wordt het aantal genoemd significante cijfers van het nummer. In het eerdere voorbeeld zou het antwoord van 57 millimeter ons 2 significante cijfers geven in onze meting.

Nullen en significante cijfers

Beschouw het nummer 5.200.

Tenzij anders aangegeven, is het over het algemeen gebruikelijk om aan te nemen dat alleen de twee niet-nul cijfers significant zijn. Met andere woorden, er wordt aangenomen dat dit getal is afgerond op de dichtstbijzijnde honderd.

Als het nummer echter wordt geschreven als 5.200.0, dan zou het vijf significante cijfers hebben. Het decimale punt en de daaropvolgende nul worden alleen toegevoegd als de meting tot op dat niveau nauwkeurig is.

Evenzo zou het getal 2.30 drie significante cijfers hebben, omdat de nul aan het einde een indicatie is dat de wetenschapper die de meting deed, op dat precisieniveau deed.

Sommige studieboeken hebben ook de conventie geïntroduceerd dat een decimale punt aan het einde van een geheel getal ook significante cijfers aangeeft. Dus 800. zou drie significante cijfers hebben, terwijl 800 slechts één significant cijfer zou hebben. Nogmaals, dit is enigszins variabel, afhankelijk van het leerboek.

Hier volgen enkele voorbeelden van verschillende aantallen significante cijfers om het concept te helpen stollen:

Een belangrijk cijfer
4
900
0.00002
Twee significante cijfers
3.7
0,0059
68.000
5.0
Drie significante cijfers
9.64
0,00360
99.900
8.00
900. (in sommige leerboeken)

Wiskunde met significante cijfers

Wetenschappelijke cijfers bieden een aantal andere regels voor wiskunde dan waar u aan wordt voorgesteld in uw wiskundeles. De sleutel bij het gebruik van significante cijfers is om er zeker van te zijn dat u tijdens de berekening hetzelfde niveau van precisie behoudt. In de wiskunde bewaar je alle getallen uit je resultaat, terwijl je in wetenschappelijk werk vaak rondt op basis van de significante cijfers.

Bij het optellen of aftrekken van wetenschappelijke gegevens is alleen het laatste cijfer (het cijfer het meest rechts) van belang. Laten we bijvoorbeeld aannemen dat we drie verschillende afstanden toevoegen:

5.324 + 6.8459834 + 3.1

De eerste term in het optelprobleem heeft vier significante cijfers, de tweede heeft er acht en de derde heeft er maar twee. De precisie wordt in dit geval bepaald door de kortste decimale punt. Dus u zult uw berekening uitvoeren, maar in plaats van 15.2699834 is het resultaat 15.3, omdat u naar de tiende plaats (de eerste plaats na de komma) zult afronden, want terwijl twee van uw metingen nauwkeuriger zijn, kan de derde niet zeggen u iets meer dan de tiende plaats, dus het resultaat van dit toevoegingprobleem kan alleen zo precies zijn.

Merk op dat uw laatste antwoord, in dit geval, drie significante cijfers heeft, terwijl geen van je startnummers wel. Dit kan voor beginners erg verwarrend zijn en het is belangrijk om aandacht te besteden aan die eigenschap van optellen en aftrekken.

Bij het vermenigvuldigen of delen van wetenschappelijke gegevens is daarentegen het aantal significante cijfers van belang. Het vermenigvuldigen van significante cijfers zal altijd resulteren in een oplossing die dezelfde significante cijfers heeft als de kleinste significante cijfers waarmee u bent begonnen. Dus naar het voorbeeld:

5.638 x 3.1

De eerste factor heeft vier significante cijfers en de tweede factor heeft twee significante cijfers. Uw oplossing zal daarom eindigen met twee significante cijfers. In dit geval zal het 17 zijn in plaats van 17.4778. U voert de berekening uit vervolgens rond uw oplossing af op het juiste aantal significante cijfers. De extra precisie in de vermenigvuldiging doet geen pijn, u wilt gewoon geen valse nauwkeurigheid geven in uw uiteindelijke oplossing.

Wetenschappelijke notatie gebruiken

Natuurkunde houdt zich bezig met ruimtegebieden van de grootte van minder dan een proton tot de grootte van het universum. Als zodanig krijg je te maken met een aantal zeer grote en zeer kleine aantallen. Over het algemeen zijn alleen de eerste paar van deze nummers significant. Niemand gaat (of kan) de breedte van het universum tot op de millimeter nauwkeurig meten.

Notitie

Dit gedeelte van het artikel gaat over het manipuleren van exponentiële getallen (d.w.z. 105, 10-8, etc.) en er wordt aangenomen dat de lezer deze wiskundige concepten begrijpt. Hoewel het onderwerp voor veel studenten lastig kan zijn, valt dit buiten het bestek van dit artikel.

Om deze getallen gemakkelijk te manipuleren, gebruiken wetenschappers wetenschappelijke notatie. De significante cijfers worden vermeld en vervolgens vermenigvuldigd met tien tot het benodigde vermogen. De snelheid van het licht wordt geschreven als: [blackquote tint = nee] 2,997925 x 108 m / s

Er zijn 7 significante cijfers en dit is veel beter dan het schrijven van 299.792.500 m / s.

Notitie

De snelheid van het licht wordt vaak geschreven als 3,00 x 108 m / s, in welk geval er slechts drie significante cijfers zijn. Nogmaals, dit is een kwestie van welk niveau van nauwkeurigheid nodig is.

Deze notatie is erg handig voor vermenigvuldiging. Je volgt de eerder beschreven regels voor het vermenigvuldigen van de significante getallen, met behoud van het kleinste aantal significante cijfers, en dan vermenigvuldigt u de magnitudes, die de additieve regel van exponenten volgen. Het volgende voorbeeld zou u moeten helpen om het te visualiseren:

2,3 x 103 x 3,19 x 104 = 7,3 x 107

Het product heeft slechts twee significante cijfers en de orde van grootte is 107 omdat 103 x 104 = 107

Het toevoegen van wetenschappelijke notaties kan erg eenvoudig of erg lastig zijn, afhankelijk van de situatie. Als de termen van dezelfde orde van grootte zijn (dwz 4.3005 x 105 en 13.5 x 105), volgt u de eerder besproken toevoegingsregels, waarbij u de hoogste plaatswaarde als uw afrondingslocatie houdt en de grootte hetzelfde houdt, zoals in de volgende voorbeeld:

4.3005 x 105 + 13,5 x 105 = 17,8 x 105

Als de grootteorde anders is, moet u echter een beetje werken om de magnitudes hetzelfde te krijgen, zoals in het volgende voorbeeld, waarbij de ene term op de magnitude van 105 ligt en de andere op de magnitude van 106:

4,8 x 105 + 9,2 x 106 = 4,8 x 105 + 92 x 105 = 97 x 105
of
4,8 x 105 + 9,2 x 106 = 0,48 x 106 + 9,2 x 106 = 9,7 x 106

Beide oplossingen zijn hetzelfde, wat resulteert in 9.700.000 als antwoord.

Evenzo worden ook zeer kleine aantallen vaak in wetenschappelijke notatie geschreven, zij het met een negatieve exponent op de grootte in plaats van de positieve exponent. De massa van een elektron is:

9.10939 x 10-31 kg

Dit zou een nul zijn, gevolgd door een decimale punt, gevolgd door 30 nullen en vervolgens de reeks van 6 significante cijfers. Niemand wil dat opschrijven, dus wetenschappelijke notatie is onze vriend. Alle bovenstaande regels zijn hetzelfde, ongeacht of de exponent positief of negatief is.

De grenzen van significante cijfers

Aanzienlijke cijfers zijn een basismiddel dat wetenschappers gebruiken om een ​​maat voor precisie te geven aan de cijfers die ze gebruiken. Het betrokken afrondingsproces introduceert echter nog steeds een mate van fout in de getallen, en in berekeningen op zeer hoog niveau zijn er andere statistische methoden die worden gebruikt. Voor vrijwel alle fysica die zal worden gedaan in de klaslokalen op de middelbare school en op college-niveau, zal echter correct gebruik van significante cijfers voldoende zijn om het vereiste nauwkeurigheidsniveau te handhaven.

Laatste opmerkingen

Belangrijke cijfers kunnen een belangrijk struikelblok zijn wanneer ze voor het eerst aan studenten worden geïntroduceerd, omdat het enkele van de elementaire wiskundige regels die ze al jaren hebben geleerd verandert. Met significante cijfers, bijvoorbeeld 4 x 12 = 50.

Evenzo kan de introductie van wetenschappelijke notatie bij studenten die zich mogelijk niet volledig vertrouwd voelen met exponenten of exponentiële regels ook problemen veroorzaken. Houd er rekening mee dat dit hulpmiddelen zijn die iedereen die wetenschap studeert op een gegeven moment heeft moeten leren, en de regels zijn eigenlijk heel eenvoudig. Het probleem is bijna volledig onthouden welke regel op welk moment wordt toegepast. Wanneer voeg ik exponenten toe en wanneer trek ik ze af? Wanneer verplaats ik de decimale punt naar links en wanneer naar rechts? Als je deze taken blijft oefenen, word je er beter in totdat ze een tweede natuur worden.

Ten slotte kan het lastig zijn om de juiste eenheden te onderhouden. Vergeet niet dat u bijvoorbeeld niet direct centimeters en meters kunt toevoegen, maar deze eerst in dezelfde schaal moet omzetten. Dit is een veel voorkomende fout voor beginners, maar net als de rest is het iets dat heel gemakkelijk kan worden opgelost door te vertragen, voorzichtig te zijn en na te denken over wat je doet.