Tweedimensionale kinematica of beweging in een vlak
Share
Dit artikel schetst de fundamentele concepten die nodig zijn om de beweging van objecten in twee dimensies te analyseren, zonder rekening te houden met de krachten die de versnelling veroorzaken. Een voorbeeld van dit soort problemen is het gooien van een bal of het schieten van een kanonskogel. Het veronderstelt een vertrouwdheid met eendimensionale kinematica, omdat het dezelfde concepten uitbreidt naar een tweedimensionale vectorruimte.
Coördinaten kiezen
Kinematica omvat verplaatsing, snelheid en versnelling, allemaal vectorgrootheden die zowel een grootte als een richting vereisen. Om een probleem met tweedimensionale kinematica te beginnen, moet u daarom eerst het coördinatensysteem definiëren dat u gebruikt. Over het algemeen zal het zijn in termen van een X-as en een Y-as, zodanig georiënteerd dat de beweging in de positieve richting is, hoewel er enkele omstandigheden kunnen zijn waarin dit niet de beste methode is.
In gevallen waarin de zwaartekracht wordt overwogen, is het gebruikelijk om de richting van de zwaartekracht negatief te maken-Y richting. Dit is een conventie die het probleem in het algemeen vereenvoudigt, hoewel het mogelijk zou zijn om de berekeningen met een andere oriëntatie uit te voeren als u dat echt wilt.
Velocity Vector
De positievector r is een vector die van de oorsprong van het coördinatensysteem naar een bepaald punt in het systeem gaat. De verandering in positie (Δr, uitgesproken als "Delta r") is het verschil tussen het startpunt (r1) naar eindpunt (r2). We definiëren de gemiddelde snelheid (vav) net zo:
vav = (r2 - r1) / (t2 - t1) = Δr/ Δt
De limiet nemen als Δt benaderingen 0, bereiken we de momentane snelheid v. In rekentermen is dit de afgeleide van r rekeninghoudend met t, of dr/dt.
Naarmate het tijdsverschil kleiner wordt, komen het begin- en eindpunt dichter bij elkaar. Sinds de richting van r is dezelfde richting als v, dat wordt duidelijk de momentane snelheidsvector op elk punt langs het pad raakt het pad.
Snelheid componenten
Het nuttige kenmerk van vectorgrootheden is dat ze kunnen worden opgedeeld in hun componentvectoren. De afgeleide van een vector is de som van zijn componentderivaten, daarom:
vX = dx/dt
vY = dy/dt
De grootte van de snelheidsvector wordt gegeven door de stelling van Pythagoras in de vorm:
|v| = v = sqrt (vX2 + vY2)
De richting van v is georiënteerd alpha graden tegen de klok in vanaf de X-component, en kan worden berekend met de volgende vergelijking:
bruinen alpha = vY / vX
Versnelling Vector
Versnelling is de verandering van snelheid gedurende een bepaalde tijdsperiode. Vergelijkbaar met de analyse hierboven, vinden we dat het Δ isv/ Δt. De limiet hiervan is Δt benaderingen 0 levert de afgeleide van op v rekeninghoudend met t.
In termen van componenten kan de versnellingsvector worden geschreven als:
eenX = dvX/dt
eenY = dvY/dt
of
eenX = d2X/dt2
eenY = d2Y/dt2
De grootte en hoek (aangegeven als beta te onderscheiden van alpha) van de netto versnellingsvector worden berekend met componenten op een wijze vergelijkbaar met die voor snelheid.
Werken met componenten
Vaak omvat tweedimensionale kinematica het breken van de relevante vectoren in hun X- en Y-componenten en analyseert vervolgens elk van de componenten alsof het eendimensionale gevallen zijn. Zodra deze analyse voltooid is, worden de componenten van snelheid en / of versnelling vervolgens weer samen gecombineerd om de resulterende tweedimensionale snelheid en / of versnellingsvectoren te verkrijgen.
Driedimensionale kinematica
De bovenstaande vergelijkingen kunnen allemaal worden uitgebreid voor beweging in drie dimensies door een toe te voegen z-onderdeel van de analyse. Dit is over het algemeen tamelijk intuïtief, hoewel enige zorg moet worden besteed om ervoor te zorgen dat dit in het juiste formaat wordt gedaan, vooral met betrekking tot het berekenen van de oriëntatiehoek van de vector.
Uitgegeven door Anne Marie Helmenstine, Ph.D.
