De waarschijnlijkheid van een Full House in Yahtzee in een enkele rol

Het spel van Yahtzee omvat het gebruik van vijf standaard dobbelstenen. Bij elke beurt krijgen spelers drie rollen. Na elke worp kan een willekeurig aantal dobbelstenen worden bewaard met als doel bepaalde combinaties van deze dobbelstenen te verkrijgen. Elke combinatie van verschillende soorten is een ander aantal punten waard.

Een van dit soort combinaties wordt een full house genoemd. Net als een full house in het pokerspel, bevat deze combinatie drie van een bepaald nummer samen met een paar van een ander nummer. Aangezien Yahtzee het willekeurig gooien van dobbelstenen omvat, kan dit spel worden geanalyseerd met behulp van waarschijnlijkheid om te bepalen hoe waarschijnlijk het is om een ​​volledig huis in een enkele worp te gooien.

Veronderstellingen

We zullen beginnen met het vermelden van onze veronderstellingen. We nemen aan dat de gebruikte dobbelstenen eerlijk en onafhankelijk van elkaar zijn. Dit betekent dat we een uniforme monsterruimte hebben die bestaat uit alle mogelijke rollen van de vijf dobbelstenen. Hoewel het spel van Yahtzee drie rollen toestaat, zullen we alleen het geval beschouwen dat we een volledig huis in een enkele rol krijgen.

Voorbeeldruimte

Omdat we met een uniforme steekproefruimte werken, wordt de berekening van onze waarschijnlijkheid een berekening van een aantal telproblemen. De kans op een full house is het aantal manieren om een ​​full house te rollen, gedeeld door het aantal resultaten in de voorbeeldruimte.

Het aantal resultaten in de voorbeeldruimte is eenvoudig. Aangezien er vijf dobbelstenen zijn en elk van deze dobbelstenen een van zes verschillende uitkomsten kan hebben, is het aantal uitkomsten in de steekproefruimte 6 x 6 x 6 x 6 x 6 = 6⁵ = 7776.

Aantal volle huizen

Vervolgens berekenen we het aantal manieren om een ​​full house te rollen. Dit is een moeilijker probleem. Om een ​​full-house te hebben, hebben we drie dezelfde dobbelstenen nodig, gevolgd door een paar verschillende dobbelstenen. We zullen dit probleem in twee delen splitsen:

• Wat is het aantal verschillende typen volledige huizen dat kan worden gerold?
• Wat is het aantal manieren waarop een bepaald type full house kan worden uitgerold?

Zodra we het aantal voor elk van deze kennen, kunnen we ze vermenigvuldigen om ons het totale aantal volledige huizen te geven dat kan worden gerold.

We beginnen met het bekijken van het aantal verschillende typen volledige huizen die kunnen worden opgerold. Elk van de nummers 1, 2, 3, 4, 5 of 6 kan worden gebruikt voor de three of a kind. Er zijn nog vijf nummers over voor het paar. Er zijn dus 6 x 5 = 30 verschillende typen full house-combinaties die kunnen worden opgerold.

We kunnen bijvoorbeeld 5, 5, 5, 2, 2 hebben als één type full house. Een ander type full-house zou 4, 4, 4, 1, 1 zijn. Nog een ander type zou 1, 1, 4, 4, 4 zijn, wat anders is dan het voorgaande full-house omdat de rollen van de vier en die zijn veranderd.

Nu bepalen we het verschillende aantal manieren om een ​​bepaald full house te rollen. Elk van de volgende geeft ons bijvoorbeeld hetzelfde volledige huis van drie vier en twee:

• 4, 4, 4, 1, 1
• 4, 1, 4, 1, 4
• 1, 1, 4, 4, 4
• 1, 4, 4, 4, 1
• 4, 1, 4, 4, 1

We zien dat er ten minste vijf manieren zijn om een ​​bepaald full house te rollen. Zijn er anderen? Zelfs als we andere mogelijkheden blijven opsommen, hoe weten we dat we ze allemaal hebben gevonden?

De sleutel tot het beantwoorden van deze vragen is om te beseffen dat we te maken hebben met een telprobleem en om te bepalen met welk soort telprobleem we werken. Er zijn vijf posities en drie daarvan moeten worden ingevuld met een vier. De volgorde waarin we onze handen leggen doet er niet toe, zolang de exacte posities zijn ingevuld. Nadat de positie van de vier is bepaald, gebeurt de plaatsing automatisch. Om deze redenen moeten we rekening houden met de combinatie van vijf posities die drie tegelijk worden ingenomen.

We gebruiken de combinatieformule om te verkrijgen C(5, 3) = 5! / (3! 2!) = (5 x 4) / 2 = 10. Dit betekent dat er 10 verschillende manieren zijn om een ​​bepaald full house te rollen.