Wat is voorwaardelijke waarschijnlijkheid?

Een duidelijk voorbeeld van voorwaardelijke kans is de kans dat een kaart getrokken uit een standaard kaartspel een koning is. Er zijn in totaal vier koningen op 52 kaarten, en dus is de waarschijnlijkheid gewoon 4/52. In verband met deze berekening is de volgende vraag: "Wat is de kans dat we een koning trekken gezien het feit dat we al een kaart uit de stapel hebben getrokken en het een aas is?" Hier beschouwen we de inhoud van het spel kaarten. Er zijn nog vier koningen, maar nu zitten er slechts 51 kaarten in het spel. De kans om een koning te trekken, gegeven dat er al een aas is getrokken, is 4/51.

Voorwaardelijke waarschijnlijkheid wordt gedefinieerd als de waarschijnlijkheid van een gebeurtenis, aangezien een andere gebeurtenis heeft plaatsgevonden. Als we deze gebeurtenissen noemen EEN en B, dan kunnen we praten over de waarschijnlijkheid van EEN gegeven B. We kunnen ook verwijzen naar de waarschijnlijkheid van EEN afhankelijk van B.

schrijfwijze

De notatie voor voorwaardelijke waarschijnlijkheid varieert van leerboek tot leerboek. In alle notaties is de indicatie dat de waarschijnlijkheid waarnaar we verwijzen afhankelijk is van een andere gebeurtenis. Een van de meest voorkomende notaties voor de waarschijnlijkheid van EEN gegeven B is P (A | B). Een andere notatie die wordt gebruikt is P_B( EEN ).

Formule

Er is een formule voor voorwaardelijke waarschijnlijkheid die dit verbindt met de waarschijnlijkheid van EEN en B:

P (A | B) = P (A ∩ B) / P (B)

In wezen is deze formule bedoeld om de voorwaardelijke waarschijnlijkheid van de gebeurtenis te berekenen EEN gezien het evenement B, we veranderen onze voorbeeldruimte zodat deze alleen uit de set bestaat B. Daarbij houden we niet rekening met het hele evenement EEN, maar alleen het deel van EEN dat zit ook in B. De set die we zojuist hebben beschreven, kan in meer vertrouwde termen worden geïdentificeerd als het snijpunt van EEN en B.

We kunnen algebra gebruiken om de bovenstaande formule op een andere manier uit te drukken:

P (A ∩ B) = P (A | B) P (B)

Voorbeeld

We zullen het voorbeeld waarmee we zijn begonnen, opnieuw bekijken in het licht van deze informatie. We willen weten hoe waarschijnlijk het is om een koning te trekken, aangezien er al een aas is getrokken. Dus het evenement EEN is dat we een koning trekken. Evenement B is dat we een aas trekken.

De kans dat beide gebeurtenissen plaatsvinden en we een aas trekken en dan een koning komt overeen met P (A ∩ B). De waarde van deze kans is 12/2652. De waarschijnlijkheid van een gebeurtenis B, dat we een aas trekken is 4/52. Dus gebruiken we de voorwaardelijke waarschijnlijkheidsformule en zien we dat de kans om een koning te trekken die is gegeven dan een aas is getrokken, is (16/2652) / (4/52) = 4/51.

Een ander voorbeeld

Voor een ander voorbeeld zullen we kijken naar het waarschijnlijkheidsexperiment waarbij we twee dobbelstenen werpen. Een vraag die we ons kunnen stellen is: "Wat is de kans dat we een drie hebben gegooid, gezien het feit dat we een som van minder dan zes hebben gegooid?"

Hier het evenement EEN is dat we een drie hebben gerold, en het evenement B is dat we een bedrag van minder dan zes hebben gerold. Er zijn in totaal 36 manieren om twee dobbelstenen te gooien. Van deze 36 manieren kunnen we een bedrag van minder dan zes op tien manieren rollen:

1 + 1 = 2
1 + 2 = 3
1 + 3 = 4
1 + 4 = 5
2 + 1 = 3
2 + 2 = 4
2 + 3 = 5
3 + 1 = 4
3 + 2 = 5
4 + 1 = 5

Onafhankelijke evenementen

Er zijn enkele gevallen waarin de voorwaardelijke kans op EEN gezien het evenement B is gelijk aan de waarschijnlijkheid van EEN. In deze situatie zeggen we dat de gebeurtenissen EEN en B zijn onafhankelijk van elkaar. De bovenstaande formule wordt:

Wetenschap