Wat zijn het omgekeerde, contrapositief en omgekeerd?

Voorwaardelijke uitspraken verschijnen overal. In de wiskunde of elders, duurt het niet lang om iets tegen te komen in de vorm “Als P vervolgens Q."Voorwaardelijke uitspraken zijn inderdaad belangrijk. Wat ook belangrijk is, zijn uitspraken die gerelateerd zijn aan de oorspronkelijke voorwaardelijke uitspraak door de positie van te wijzigen P, Q en de ontkenning van een verklaring. Beginnend met een originele bewering, eindigen we met drie nieuwe voorwaardelijke beweringen die het omgekeerde, het contrapositief en het omgekeerde worden genoemd.

Ontkenning

Voordat we het tegenovergestelde, contrapositieve en omgekeerde van een voorwaardelijke uitspraak definiëren, moeten we het onderwerp ontkenning onderzoeken. Elke bewering in de logica is waar of onwaar. De ontkenning van een verklaring houdt eenvoudigweg in dat het woord "niet" wordt ingevoegd op het juiste deel van de verklaring. De toevoeging van het woord "niet" wordt gedaan zodat het de waarheidsstatus van de verklaring verandert.

Het zal helpen om naar een voorbeeld te kijken. De uitspraak "De juiste driehoek is gelijkzijdig" heeft ontkenning "De juiste driehoek is niet gelijkzijdig." De ontkenning van "10 is een even getal" is de uitspraak "10 is geen even getal." Natuurlijk, voor dit laatste voorbeeld, we kunnen de definitie van een oneven getal gebruiken en in plaats daarvan zeggen dat "10 een oneven getal is." We merken op dat de waarheid van een uitspraak het tegenovergestelde is van die van de ontkenning.

We zullen dit idee in een meer abstracte setting onderzoeken. Wanneer de verklaring P is waar, de uitspraak 'niet P" is fout. Evenzo als P is vals, de ontkenning ervan 'niet P" is waar. Negaties worden meestal aangeduid met een tilde ~. Dus in plaats van 'niet' te schrijven P”We kunnen ~ schrijvenP.

Converse, Contrapositive en Inverse

Nu kunnen we het omgekeerde, het contrapositief en het omgekeerde van een voorwaardelijke uitspraak definiëren. We beginnen met de voorwaardelijke uitspraak 'Als P vervolgens Q.”

• Het omgekeerde van de voorwaardelijke verklaring is "Als Q vervolgens P.”
• Het contrapositief van de voorwaardelijke verklaring is: 'Zo niet Q dan niet P.”
• Het omgekeerde van de voorwaardelijke verklaring is "Zo niet P dan niet Q.”

We zullen zien hoe deze verklaringen werken met een voorbeeld. Stel dat we beginnen met de voorwaardelijke uitspraak "Als het gisteravond heeft geregend, is het trottoir nat."

• Het omgekeerde van de voorwaardelijke verklaring is: "Als het trottoir nat is, heeft het gisteravond geregend."
• Het contrapositief van de voorwaardelijke verklaring is: "Als het trottoir niet nat is, heeft het gisteravond niet geregend."
• Het omgekeerde van de voorwaardelijke verklaring is: 'Als het gisteravond niet heeft geregend, is het trottoir niet nat.'

Logische gelijkwaardigheid

We kunnen ons afvragen waarom het belangrijk is om deze andere voorwaardelijke verklaringen te vormen vanaf onze eerste. Een zorgvuldige blik op het bovenstaande voorbeeld onthult iets. Stel dat de oorspronkelijke uitspraak 'Als het gisteravond heeft geregend, dan is het trottoir nat' waar is. Welke van de andere uitspraken moet ook waar zijn?

• Het omgekeerde: "Als het trottoir nat is, heeft het gisteravond geregend", is niet noodzakelijkerwijs waar. Het trottoir kan om andere redenen nat zijn.
• Het omgekeerde "Als het gisteravond niet heeft geregend, dan is het trottoir niet nat" is niet noodzakelijk waar. Nogmaals, alleen omdat het niet regende, betekent niet dat het trottoir niet nat is.
• De contrapositieve "Als het trottoir niet nat is, dan regende het gisteravond niet" is een echte verklaring.

Wat we uit dit voorbeeld zien (en wat wiskundig kan worden bewezen) is dat een voorwaardelijke verklaring dezelfde waarheidswaarde heeft als het contrapositief. We zeggen dat deze twee verklaringen logisch equivalent zijn. We zien ook dat een voorwaardelijke verklaring logisch gezien niet equivalent is aan zijn omgekeerde en omgekeerde.

Aangezien een voorwaardelijke verklaring en het contrapositief logisch equivalent zijn, kunnen we dit in ons voordeel gebruiken wanneer we wiskundige stellingen bewijzen. In plaats van de waarheid van een voorwaardelijke verklaring rechtstreeks te bewijzen, kunnen we in plaats daarvan de indirecte bewijsstrategie gebruiken om de waarheid van het contrapositief van die verklaring te bewijzen. Contrapositieve bewijzen werken omdat als de contrapositieve waar is, vanwege logische gelijkwaardigheid, de oorspronkelijke voorwaardelijke bewering ook waar is.

Het blijkt dat hoewel het omgekeerde en omgekeerd niet logisch equivalent zijn aan de oorspronkelijke voorwaardelijke verklaring, ze logisch gelijkwaardig zijn aan elkaar. Hier is een eenvoudige verklaring voor. We beginnen met de voorwaardelijke uitspraak 'Als Q vervolgens P”. Het contrapositief van deze verklaring is: 'Zo niet P dan niet Q.“Omdat het omgekeerde het tegenovergestelde is van het omgekeerde, zijn het omgekeerde en omgekeerd logisch equivalent.