Wat zijn momenten in de statistiek?
Share
Momenten in wiskundige statistieken omvatten een basisberekening. Deze berekeningen kunnen worden gebruikt om het gemiddelde, de variantie en scheefheid van een kansverdeling te vinden.
Stel dat we een set gegevens hebben met in totaal n discrete punten. Een belangrijke berekening, die eigenlijk meerdere getallen is, wordt de shet moment. De shet moment van de gegevensset met waarden X1, X2, X3,... , Xn wordt gegeven door de formule:
(X1s + X2s + X3s +... + Xns) /n
Het gebruik van deze formule vereist dat we voorzichtig zijn met onze volgorde van bewerkingen. We moeten eerst de exponenten doen, optellen en dan deze som delen door n het totale aantal gegevenswaarden.
Een opmerking over de term 'Moment'
De voorwaarde moment is overgenomen uit de natuurkunde. In de natuurkunde wordt het moment van een systeem van puntmassa's berekend met een formule die identiek is aan die hierboven, en deze formule wordt gebruikt om het massamiddelpunt van de punten te vinden. In statistieken zijn de waarden niet langer massa's, maar zoals we zullen zien, meten momenten in statistieken nog steeds iets ten opzichte van het middelpunt van de waarden.
Eerste moment
Voor het eerste moment zijn we begonnen s = 1. De formule voor het eerste moment is dus:
(X1X2 + X3 +... + Xn) /n
Dit is identiek aan de formule voor het steekproefgemiddelde.
Het eerste moment van de waarden 1, 3, 6, 10 is (1 + 3 + 6 + 10) / 4 = 20/4 = 5.
Tweede moment
Voor het tweede moment zijn we begonnen s = 2. De formule voor het tweede moment is:
(X12 + X22 + X32 +... + Xn2) /n
Het tweede moment van de waarden 1, 3, 6, 10 is (12 + 32 + 62 + 102) / 4 = (1 + 9 + 36 + 100) / 4 = 146/4 = 36.5.
Derde moment
Voor het derde moment zijn we begonnen s = 3. De formule voor het derde moment is:
(X13 + X23 + X33 +... + Xn3) /n
Het derde moment van de waarden 1, 3, 6, 10 is (13 + 33 + 63 + 103) / 4 = (1 + 27 + 216 + 1000) / 4 = 1244/4 = 311.
Hogere momenten kunnen op een vergelijkbare manier worden berekend. Vervang gewoon s in de bovenstaande formule met het nummer dat het gewenste moment aangeeft.
Momenten over het gemiddelde
Een verwant idee is dat van de shet moment over het gemiddelde. In deze berekening voeren we de volgende stappen uit:
- Bereken eerst het gemiddelde van de waarden.
- Trek vervolgens dit gemiddelde af van elke waarde.
- Breng vervolgens elk van deze verschillen naar de sde kracht.
- Voeg nu de nummers van stap # 3 bij elkaar toe.
- Deel tenslotte deze som door het aantal waarden waarmee we zijn begonnen.
De formule voor de shet moment over het gemiddelde m van de waardenwaarden X1, X2, X3,... , Xn is gegeven door:
ms = ((X1 - m)s + (X2 - m)s + (X3 - m)s +... + (Xn - m)s) /n
Eerste moment over het gemiddelde
Het eerste moment over het gemiddelde is altijd gelijk aan nul, ongeacht de gegevensset waarmee we werken. Dit is te zien aan het volgende:
m1 = ((X1 - m) + (X2 - m) + (X3 - m) + ... + (Xn - m)) /n = ((X1+ X2 + X3 +... + Xn) - nm) /n = m - m = 0.
Tweede moment over het gemiddelde
Het tweede moment over het gemiddelde wordt verkregen uit de bovenstaande formule door instellings = 2:
m2 = ((X1 - m)2 + (X2 - m)2 + (X3 - m)2 +... + (Xn - m)2) /n
Deze formule is gelijk aan die voor de steekproefvariantie.
Beschouw bijvoorbeeld de set 1, 3, 6, 10. We hebben het gemiddelde van deze set al berekend op 5. Trek dit af van elk van de gegevenswaarden om verschillen te verkrijgen van:
- 1-5 = -4
- 3-5 = -2
- 6 - 5 = 1
- 10 - 5 = 5
We kwadrateren elk van deze waarden en voegen ze samen: (-4)2 + (-2)2 + 12 + 52 = 16 + 4 + 1 + 25 = 46. Deel dit getal tenslotte door het aantal datapunten: 46/4 = 11.5
Toepassingen van momenten
Zoals hierboven vermeld, is het eerste moment het gemiddelde en het tweede moment over het gemiddelde de steekproefvariantie. Karl Pearson introduceerde het gebruik van het derde moment over het gemiddelde bij het berekenen van scheefheid en het vierde moment over het gemiddelde bij het berekenen van kurtosis.
