De moment genererende functie van een willekeurige variabele

Een manier om het gemiddelde en de variantie van een kansverdeling te berekenen, is door de verwachte waarden van de willekeurige variabelen te vinden X en X². We gebruiken de notatie E(X) en E(X²) om deze verwachte waarden aan te duiden. Over het algemeen is het moeilijk te berekenen E(X) en E(X²) rechtstreeks. Om dit probleem te omzeilen, gebruiken we een meer geavanceerde wiskundige theorie en calculus. Het eindresultaat is iets dat onze berekeningen eenvoudiger maakt.

De strategie voor dit probleem is het definiëren van een nieuwe functie, van een nieuwe variabele t dat wordt de moment genererende functie genoemd. Met deze functie kunnen we momenten berekenen door eenvoudig derivaten te nemen.

Veronderstellingen

Voordat we de moment genererende functie definiëren, beginnen we met het instellen van de fase met notatie en definities. Wij laten X een discrete willekeurige variabele zijn. Deze willekeurige variabele heeft de kansmassafunctie f(X). De voorbeeldruimte waarmee we werken, wordt aangegeven met S.

In plaats van de verwachte waarde van te berekenen X, we willen de verwachte waarde berekenen van een exponentiële functie gerelateerd aan X. Als er een positief reëel getal is r zoals dat E(e^tX) bestaat en is eindig voor iedereen t in het interval [-r, r], dan kunnen we de moment genererende functie van definiëren X.

Definitie

De moment genererende functie is de verwachte waarde van de exponentiële functie hierboven. Met andere woorden, we zeggen dat het moment genererende functie van X is gegeven door:

M(t) = E(e^tX)

Deze verwachte waarde is de formule Σ e^tx f (X), waar de sommatie allemaal wordt overgenomen X in de voorbeeldruimte S. Dit kan een eindige of oneindige som zijn, afhankelijk van de gebruikte monsterruimte.

Eigendommen

De moment-genererende functie heeft veel functies die verbinding maken met andere onderwerpen in kans- en wiskundige statistieken. Enkele van de belangrijkste functies zijn:

• De coëfficiënt van e^tb is de kans dat X = b.
• Moment genererende functies bezitten een unieke eigenschap. Als het moment dat functies genereert voor twee willekeurige variabelen met elkaar overeenkomen, moeten de waarschijnlijkheidsmassafuncties hetzelfde zijn. Met andere woorden, de willekeurige variabelen beschrijven dezelfde kansverdeling.
• Moment genererende functies kunnen worden gebruikt om momenten van te berekenen X.

Momenten berekenen

Het laatste item in de bovenstaande lijst verklaart de naam van de momentgenererende functies en ook hun bruikbaarheid. Sommige geavanceerde wiskunde zegt dat onder de voorwaarden die we hebben uiteengezet, de afgeleide is van elke volgorde van de functie M (t) bestaat voor wanneer t = 0. Verder kunnen we in dit geval de volgorde van sommatie en differentiatie ten opzichte van wijzigen t om de volgende formules te verkrijgen (alle sommaties zijn hoger dan de waarden van X in de voorbeeldruimte S):

• M'(t) = Σ xe^tx f (X)
• M"(t) = Σ X²e^tx f (X)
• M"(t) = Σ X³e^tx f (X)
• M^(N)'(t) = Σ Xⁿe^tx f (X)

Als we gaan zitten t = 0 in de bovenstaande formules, vervolgens de e^tx termijn wordt e⁰ = 1. Zo verkrijgen we formules voor de momenten van de willekeurige variabele X:

• M'(0) = E(X)
• M"(0) = E(X²)
• M"(0) = E(X³)
• M⁽ⁿ⁾(0) = E(Xⁿ)

Dit betekent dat als de moment genererende functie bestaat voor een bepaalde willekeurige variabele, we het gemiddelde en de variantie ervan kunnen vinden in termen van derivaten van de moment genererende functie. Het gemiddelde is M'(0), en de variantie is M"(0) - [M(0)]².

Samenvatting

Samenvattend moesten we wat behoorlijk krachtige wiskunde binnendringen, dus sommige dingen werden verdoezeld. Hoewel we voor het bovenstaande calculus moeten gebruiken, is ons wiskundige werk uiteindelijk meestal eenvoudiger dan door de momenten rechtstreeks uit de definitie te berekenen.