Het verschil tussen combinaties en permutaties

In wiskunde en statistiek moeten we weten hoe we moeten tellen. Dit geldt met name voor sommige waarschijnlijkheidsproblemen. Stel dat we er in totaal een krijgen n verschillende objecten en willen selecteren r van hen. Dit raakt rechtstreeks een gebied van wiskunde dat bekend staat als combinatoriek, wat de studie van tellen is. Twee van de belangrijkste manieren om deze te tellen r objecten van n elementen worden permutaties en combinaties genoemd. Deze concepten zijn nauw met elkaar verbonden en kunnen gemakkelijk worden verward.

Wat is het verschil tussen een combinatie en permutatie? Het sleutelidee is dat van orde. Een permutatie besteedt aandacht aan de volgorde waarin we onze objecten selecteren. Dezelfde set objecten, maar in een andere volgorde genomen, geeft ons verschillende permutaties. Met een combinatie selecteren we nog steeds r objecten uit een totaal van n, maar de bestelling wordt niet langer in overweging genomen.

Een voorbeeld van permutaties

Om een ​​onderscheid te maken tussen deze ideeën, zullen we het volgende voorbeeld beschouwen: hoeveel permutaties zijn er van twee letters uit de set abc?

Hier vermelden we alle paren van elementen uit de gegeven set, terwijl we tegelijkertijd aandacht besteden aan de volgorde. Er zijn in totaal zes permutaties. De lijst met al deze zijn: ab, ba, bc, cb, ac en ca. Merk op dat als permutaties ab en ba zijn anders omdat in één geval een werd eerst gekozen, en in de andere een werd als tweede gekozen.

Een voorbeeld van combinaties

Nu zullen we de volgende vraag beantwoorden: hoeveel combinaties zijn er van twee letters uit de set abc?

Omdat we te maken hebben met combinaties, geven we niet langer om de bestelling. We kunnen dit probleem oplossen door terug te kijken naar de permutaties en vervolgens die met dezelfde letters te elimineren. Als combinaties, ab en ba worden als hetzelfde beschouwd. Er zijn dus slechts drie combinaties: ab, ac en bc.

formules

Voor situaties die we tegenkomen bij grotere sets, is het te tijdrovend om alle mogelijke permutaties of combinaties op te sommen en het eindresultaat te tellen. Gelukkig zijn er formules die ons het aantal permutaties of combinaties van geven n objecten genomen r tegelijk.

In deze formules gebruiken we de stenotatie van n! riep n faculteit. De faculteit zegt eenvoudigweg alle positieve gehele getallen kleiner dan of gelijk aan te vermenigvuldigen n samen. Dus bijvoorbeeld 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24. Per definitie 0! = 1.

Het aantal permutaties van n objecten genomen r tegelijkertijd wordt gegeven door de formule:

P(n,r) = n!/ (n - r)!

Het aantal combinaties van n objecten genomen r tegelijkertijd wordt gegeven door de formule:

C(n,r) = n!/ [r!(n - r)!]

Formules op het werk

Laten we het eerste voorbeeld bekijken om de formules aan het werk te zien. Het aantal permutaties van een set van drie objecten die twee tegelijk worden genomen, wordt gegeven door P(3,2) = 3! / (3 - 2)! = 6/1 = 6. Dit komt exact overeen met wat we hebben verkregen door alle permutaties te vermelden.

Het aantal combinaties van een set van drie objecten tegelijkertijd genomen twee wordt gegeven door:

C(3,2) = 3! / [2! (3-2)!] = 6/2 = 3. Nogmaals, dit komt precies overeen met wat we eerder zagen.

De formules besparen zeker tijd wanneer ons wordt gevraagd het aantal permutaties van een grotere set te vinden. Hoeveel permutaties zijn er bijvoorbeeld van een set van tien objecten die tegelijkertijd drie zijn genomen? Het zou even duren om alle permutaties op te sommen, maar met de formules zien we dat er zou zijn:

P(10,3) = 10! / (10-3)! = 10! / 7! = 10 x 9 x 8 = 720 permutaties.

De hoofdgedachte

Wat is het verschil tussen permutaties en combinaties? Het komt erop neer dat bij het tellen van situaties waarbij een bestelling betrokken is, permutaties moeten worden gebruikt. Als de bestelling niet belangrijk is, moeten combinaties worden gebruikt.