Hoe de variantie van een Poisson-verdeling te berekenen

De variantie van een verdeling van een willekeurige variabele is een belangrijk kenmerk. Dit getal geeft de spreiding van een verdeling aan en wordt gevonden door de standaarddeviatie te kwadrateren. Een algemeen gebruikte discrete verdeling is die van de Poisson-verdeling. We zullen zien hoe we de variantie van de Poisson-verdeling kunnen berekenen met parameter λ.

De Poisson-verdeling

Poisson-distributies worden gebruikt wanneer we een soort continuüm hebben en discrete veranderingen binnen dit continuüm tellen. Dit gebeurt wanneer we rekening houden met het aantal mensen dat in de loop van een uur bij een bioscoopkaartje aankomt, het aantal auto's bijhoudt dat door een kruising met een vierwegstop rijdt of het aantal fouten in een lengte meetelt van draad.

Als we in deze scenario's enkele verhelderende veronderstellingen maken, dan komen deze situaties overeen met de voorwaarden voor een Poisson-proces. We zeggen dan dat de willekeurige variabele, die het aantal veranderingen telt, een Poisson-verdeling heeft.

De Poisson-distributie verwijst eigenlijk naar een oneindige familie van distributies. Deze verdelingen zijn uitgerust met een enkele parameter λ. De parameter is een positief reëel getal dat nauw verband houdt met het verwachte aantal waargenomen veranderingen in het continuüm. Verder zullen we zien dat deze parameter niet alleen gelijk is aan het gemiddelde van de verdeling, maar ook aan de variantie van de verdeling.

De kansmassafunctie voor een Poisson-verdeling wordt gegeven door:

f(X) = (λX e-λ) /X!

In deze uitdrukking, de brief e is een getal en is de wiskundige constante met een waarde die ongeveer gelijk is aan 2.718281828. De variabele X kan elk niet-negatief geheel getal zijn.

De variantie berekenen

Om het gemiddelde van een Poisson-verdeling te berekenen, gebruiken we de moment-genererende functie van deze verdeling. We zien dat:

M( t ) = E [etX] = Σ etXf( X) = ΣetX λX e-λ) /X!

We herinneren ons nu de Maclaurin-serie voor e^u. Omdat elke afgeleide van de functie e^u is e^u, al deze derivaten geëvalueerd op nul geven ons 1. Het resultaat is de reeks e^u = Σ uⁿ/n!.

Door gebruik van de Maclaurin-serie voor e^u, we kunnen de moment genererende functie niet als een reeks uitdrukken, maar in een gesloten vorm. We combineren alle voorwaarden met de exponent van X. Dus M(t) = e^{λ (et - 1)}.

We vinden nu de variantie door de tweede afgeleide van te nemen M en dit op nul evalueren. Sinds M'(t) = λe^tM(t), gebruiken we de productregel om de tweede afgeleide te berekenen:

M"(t) = Λ2e2tM'(t) + λetM(t)

We evalueren dit op nul en vinden dat M"(0) = λ² + λ. We gebruiken dan het feit dat M'(0) = λ om de variantie te berekenen.

Var (X) = λ2 + λ - (λ)2 = λ.

Dit laat zien dat de parameter λ niet alleen het gemiddelde van de Poisson-verdeling is, maar ook de variantie.